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Conjecturer la position relative de fonctions

Posté par
Hexperthyse
20-02-23 à 20:15

Bonjour sur cet exercice, il nous est dit : f est la fonction définie sur R par : f(x) = x^3+2x^2-7. On note Cf, sa représentation graphique dans un repère. (O, I, J).
1. A l'aide du graphique, déterminer l'équation réduite de la droite d. J'ai trouvé grâce au graphique que l'équation de la droite était -x-2.
2.a. Conjecturer la position relative de Cf et d en fonction des valeurs de x. J'ai essayé de faire f(x)-d = 0 pour déterminer le point d'intersection mais il est impossible de factoriser x^3+2x^2-7-(-x-2). Je me suis donc demandé si on pouvait trouver le point d'intersection en disant qu'on l'avait trouvé à l'aide de la calculatrice et ensuite on disait que comme f(x) était au dessus ou en dessous de d f(x)-d était négatif ou positif.
Cependant la question b de la 2e question me demande de démontrer les conjectures. Je ne sais donc pas comment faire car j'ai trouvé le point d'intersection à l'aide de la calculatrice. Faut-il que je prouve ces conjectures en soustrayant des point de f(x) et de d ?
Vous trouverez l'exercice complet et une représentation graphique des courbes faite en ligne en PJ.

Conjecturer la position relative de fonctions

Conjecturer la position relative de fonctions

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:20

bonjour,

conjecturer  : c'est dire ce que tu peux en penser en regardant la figure.
Pour conjecturer,  il n'y a pas de calcul à faire.

Que peux tu répondre  en 2a) ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:22

Je peux répondre que la courbe Cf est en dessous de d de -l'infini à un point non connu et au dessus de d de ce point inconnu à + l'infini

Posté par
malou Webmaster
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:23

Bonjour à tous les deux

il me semble que l'équation donnée pour la courbe est fausse !

Posté par
malou Webmaster
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:24

ce n'est pas -7 mais -2

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:27

oui, merci malou, je viens de m'en rendre compte !

Posté par
hekla
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:28

Bonsoir

Juste de passage je ne comprends pas le graphique. Si l'on dit que le repère est (O ; I, J) cela veut dire OI=1 et OJ =1
La courbe devrait donc couper l'axe des ordonnées au point d'ordonnée -7 et non aux environs de -2

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:32

hekla, l'erreur est corrigée.

Hexperthyse
f(x) =  x^3  +2x² -2
(d)  :  y=-x-2

ta conjecture : en effet, de -oo  à  x= 0, la courbe est en dessous de la droite, elle est au dessus ensuite.

pour démontrer : ta démarche est bonne.
f(x) - y =    x^3  + 2x² + x
tu peux factoriser !

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:50

Donc si je comprends bien, il y a une erreur dans l'énoncé?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 20:55

oui, une petite coquille  :   un 7  au lieu d'un 2.

f(x) - y =    x^3  + 2x² + x    tu peux terminer ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:13

f(x)-d = x^3+2x^2-2-(-x-2) = x^3+2x^2-2+x+2 = x^3+2x^2+x = 0
On factorise :
x(x^2+x+1) = 0
Si A*B = 0 alors A = 0 ou B = 0
Soit x = 0 soit x^2+x+1 = 0 (identité remarquable : a^2+2ab+b^2
(x+1)^2 = 0 et comme A^2 = 0 alors A = 0
Donc x+1 = 0 avec x = -1

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:17

oui, c'est très bien.
f(x)-d = 0    pour   x=-1   ou  x=0

mais ce qui nous intéresse c'est le signe  de f(x)-d
donc le signe de  x (x+1)²

soit tu sais conclure tout de suite, soit tu fais un tableau de signes.

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:19

Je ne sais faire qu'avec le tableau de signes comment peut-on faire autrement ?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:22

tu peux remarquer que (x+1)²   est toujours positif ou nul.
donc  dans  x (x+1)²   seul le signe de x  compte.

f(x)- d < 0   quand  x<0    ==>   ça correspond à quelle situation avec les courbes ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:24

Je ne comprends pas où vous voulez en venir. c'est à dire quelle situation avec les courbes?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:35

ta conjecture, c'était bien la position des courbes, n'est ce pas ?

là, en question 3, tu as regardé le signe d'une expression.
tu dis
f(x)-y  < 0   quand x <0    (c'est juste)
est ce que ta conjecture (avec les courbes) est vérifiée ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:37

Oui c'est vérifié car ma courbe Cf est en dessous de d pour tout x<0. Pour mon tableau de signe je n'inscris pas -1 dessus du coup car le signe de f(x) - d ne change pas. Les courbes se touchent seulement n'est ce pas?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:40

oui, c'est ca !

quand x < 0,   f(x) - y < 0    donc   f(x) < y   et Cf est en dessous de (d).
quand x > 0,   f(x) - y > 0    donc   f(x) > y   et Cf est au dessus de (d).

tout est clair pour toi ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 21:48

c'est clair je vous envoie mon tableau de signes

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:05

voilà mon tableau de signes

Conjecturer la position relative de fonctions

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:06

oui, c'est tres bien.

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:21

Super merci beaucoup pour votre aide du coup pour la démonstration des conjectures j'utilise quelle méthode le tableau de signes ou
quand x < 0,   f(x) - y < 0    donc   f(x) < y   et Cf est en dessous de (d).
quand x > 0,   f(x) - y > 0    donc   f(x) > y   et Cf est au dessus de (d).
QU'est il mieux d'utiliser?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:31

tu fais une confusion :

pour trouver le signe de f(x) -y  :  
- soit tu remarques que seul le signe de x compte, puisque (x+1)² est toujours positif ou nul, donc f(x)-y  a le même signe que x
- soit tu fais un tableau de signes  (comme tu l'as fait).
(NB : ecris   f(x)-y     au lieu de f(x)-d .     (d ) est une droite, pas une équation.

Ensuite, et ensuite seulement, il faut terminer par :
quand x < 0,   f(x) - y < 0    donc   f(x) < y   et Cf est en dessous de (d).
quand x > 0,   f(x) - y > 0    donc   f(x) > y   et Cf est au dessus de (d).

Quand tu fais un tableau de signes, tu analyses le tableau pour répondre à la question, n'est ce pas?  Ici, c'est pareil, ces phrases sont la réponse à la question suite à l'analyse du signe de f(x)-y, que tu fasses un tableau ou pas.

Si tu préfères présenter un tableau, fais le, mais il faut quand même que tu analyses le tableau et que tu apportes une conclusion qui vérifie ta conjecture.
OK ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:37

Ah d'accord j'ai tout compris merci beaucoup mais
quand x < 0 et Cf est en dessous de (d)
quand x > 0 et Cf est au dessus de (d) ça je le dis déjà dans la questions 2)a). Ai-je besoin de le rajouter?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:48

dans la 2a)   tu as conjecturé en regardant le dessin.

Apparemment, Cf est en dessous de (d) quand x <0.... etc..

dans la 2b), tu démontres, tu prouves que ta conjecture était bonne.
à l'issue de tes calculs (facorisation, tableau de signes, etc...), tu fais une conclusion , tu démontres que Cf est en dessous de (d) quand x<0, etc...

donc la conjecture était correcte, elle est démontrée.

tu vois ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 22:58

Ok j'ai compris merci beaucoup en tout cas. Etes vous professeur de mathématiques?

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 23:03

C'est super que tu aies compris.
Depuis que je suis en retraite, j'accompagne des élèves en difficulté avec les maths.  Pourquoi poses tu la question ?

Posté par
Hexperthyse
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 23:17

Je me suis posé la question car je trouvais que vous expliquiez vachement bien et je m'étais douté que vous étiez professeur. En tout cas merci beaucoup pour vos explications

Posté par
Leile
re : Conjecturer la position relative de fonctions 20-02-23 à 23:24

merci de ce gentil compliment. C'est plus facile avec des élèves motivés comme toi.
Je suis contente de t'avoir aidé.
Peut-être à une autre fois.
Bonne nuit.



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