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Conjectures de Weil

Posté par
Reti 02-12-13 à 15:12

Bonjour à tous,
j'étudie les équations polynomiales sur les corps finis. Il y a me semble t'il une incohérence dans mon bouquin, à savoir A classical introduction to modern number theory de Ireland et Rosen.

J'ai démontré la rationalité de la fonction zeta de l'hypersurface projective définie par les polynômes homogènes de la forme a_0X_0^m+..+a_nX_n^m où a_0,..,a_n\in\mathbb{F}_q^* et q\equiv1[m]. J'ai démontré aussi que dans ce même cas particulier les zéros de la fonction zeta étaient de valeur absolue q^{-\frac{n-1}{2}}.

Mais ensuite mon bouquin énonce à titre informatif une forme simplifiée des conjectures de Weil dans le cas d'une hypersurface projective non singulière définie par un polynôme homogène de degré d :
1) Z_P(u) est une fonction rationnelle de la forme \frac{Q(u)^{(-1)^n}}{(1-u)(1-qu)...(1-q^{n-1}u)} où Q(u) est un polynôme à coefficients entiers.
2) L'application a\mapsto\frac{q^{n-1}}{a} est une bijection de l'ensemble des racines de Q.
3) Les racines de Q sont de valeur absolue q^{-\frac{n-1}{2}}.
4) Q est de degré \frac{1}{d}[(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)]

Les points 2) et 3) sont en contradiction avec ce que j'ai démontré avant ! Ou est l'erreur ?

Merci de votre aide.

Posté par
Retire : Conjectures de Weil 02-12-13 à 15:14

Coquille : le livre dit
3) Les racines de Q sont de valeur absolue q^{\frac{n-1}{2}}

Posté par
Marmeladere : Conjectures de Weil 02-12-13 à 15:39

Bonjour,
Les zeros de la fonction zeta d'une variété (propre et lisse) sur un corps fini sont de module une puissance entiere de racine de q (l'exposant est compris entre 1 et 2d-1 où d est la dimension de ta variété).
Il doit y avoir une erreur dans ta preuve.

Posté par
Retire : Conjectures de Weil 02-12-13 à 15:44

Pourtant tout me semble bon et c'est d'ailleurs un phénomène que j'avais observé sur des exemples.. je ne comprends pas.

Posté par
Marmeladere : Conjectures de Weil 02-12-13 à 15:58

Quelle est ta definition de la fonction zeta d'une variété?

Posté par
Retire : Conjectures de Weil 02-12-13 à 16:03

Je ne l'ai définie que dans le cas d'une hypersurface (variété définie par une seule équation). Soit P\in\mathbb{F}_q[X_0,..,X_n] un polynôme homogène et N_s le nombre de points de l'hypersurface définie par P dans l'extension \mathbb{F}_{q^s}. Alors Z_P(u)=\exp(\sum\limits_{s=1}^{\infty}\frac{N_su^s}{s}).

Posté par
Marmeladere : Conjectures de Weil 02-12-13 à 16:24

Pardon, tu as raison.
Les facteurs intervenant dans la fonction zeta s'ecrivent (1-aT), avec a qui est une puissance entière de racine de q, ce qui donne bien ton resultat.

Posté par
Retire : Conjectures de Weil 02-12-13 à 16:26

Ah oui j'ai confondu racines du polynôme et inverse des racines.. merci de ta remarque.


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