D'ailleurs, ça n'a pas vraiment de sens, le noyau ici...

C'est mieux quand l'application est entre deux groupes
Soit x un élément de G. Si j'appelle définie par , que vaut ?
Donc d'après le premier théorème d'isomorphisme.

Reste à savoir ce qu'est l'image de f.
Soit g un élément de G.


où le truc en rouge doit avoir le même cardinal que Cl(x)

Bonsoir

Une idée :

Remarquer que .

Puis montrer que l'application est bijective.

Bonjour Ulmière,

En fait, c'était exactement ce que je voulais faire le premier théorème d'isomorphisme mais je m'y suis pris comme un manche !

Je reprends avec tes notations.



Par le premier théorème d'isomorphisme:


Il me reste à déterminer et là, c'est une autre paire de manches...

Soit






je n'ai pas l'impression que ce soit bien parti si ?

Tu t'es un peu embrouillé dans les notations. et non N(y). C'est x qu'on a fixé, et y est la variable muette.

Pour la suite, c'est l'idée, mais en termes de classes d'équivalences, que signifie ?

La définition de
ici, tu as défini

J'ai obtenu
donc pour moi, dans ce dernier ensemble, joue le rôle du de la définition de et celui de ou alors, y'a un truc que je comprends vraiment pas...

Pour pour moi, ça veut dire que appartient à puisque pour répondre à ta question, la classe d'équivalence de c'est l'ensemble des tels que .
En espérant ne pas dire trop de bêtises !

d'après tes propres notations

Ce que tu as écrit est correct aussi, mais cela aboutit à \{g\in G : x\in N(g)\}, ce qui ne nous avance guère sous cette forme. Mais comme tu as déjà traité une question qui que "" est une relation d'équivalence, elle est en particulier symétrique, et donc on retombe sur nos pattes et sur N(x).

Pour la suite c'est correct, mais il faut finir : on est dans un groupe donc x est inversible, et équivaut à . Donc f(G) = ??? Et donc G/N(x) est isomorphe à cet ensemble qu'est f(G) qui lui-même a le même cardinal que Cl(x) parce que ???

Ok pour le Ker.

En fait j'ai hésité à écrire car je ne comprends pas trop l'interprétation que je pourrai en faire.

c'est l'ensemble des images par des éléments de , autrement dit,
Or on vient de voir que

et sauf erreur,

Puis-je donc en déduire que ?
et auraient le même cardinal ?
J'avoue que je suis confus...

L'équivalence que tu écris (en remplaçant  G par f(G) dans le membre de gauche) dit simplement que f(G) = x^(-1).Cl(x).

Que peux tu me dire au sujet de la fonction h définie sur Cl(x) par h(u) = x^(-1).u ?

La fonction



est bijective
donc et ont le même cardinal
donc et a le même cardinal que d'où le résultat:



Merci Ulmière ! Et Merci Elhor (je n'ai pas suivi la piste de Elhor car j'étais déjà parti sur celle de Ulmière).

Pour la question d), il s'agit d'une application.

est le centre de , c'est à dire l'ensemble des éléments qui commutent avec n'importe quel dans .
Si est de cardinal alors est isomorphe à donc les cardinaux de et de sont des diviseurs de . Je ne sais pas encore quoi faire de cette information, mais j'imagine que je vais devoir l'utiliser à un moment donné...
Ce sont donc des entiers de la forme avec  

Après, c'est bizarre, j'ai l'impression (fausse j'imagine) que ?
J'ai du mal à faire le lien avec la question précédente car j'ai du mal à identifier clairement et dans le cas où serait
Une idée pour poursuivre ?
Merci encore !

Bonjour

Je n'ai pas tout lu, mais la fin du dernier post m'a sauté aux yeux!
Si G est isomorphe à , il est commutatif et l'exo n'a aucun intérêt.

Il existe des groupes non-commutatifs de cardinal qui ont un centre qui n'est pas tout le groupe!

Regarde déjà les groupes d'ordre 8 où il y a même deux non commutatifs non isomorphes!

Bonjour Camélia,

est-on d'accord que si est un groupe fini de cardinal avec dans et premier alors est isomorphe à ?

NON! Je t'ai mis un contrexemple! Il y a des groupes non commutatifs d'ordre

ah oui, le groupe des quaternions par exemple...

Ok ! Merci Camélia !

Bon, bah du coup, je sais encore moins comment repartir !

Tu ne sais pas que les classes d'équivalence forment une partition de G ? Ecris donc le cardinal de G sous forme de somme et regarde ce que tu peux en tirer

Si, je sais que

Donc

J'en déduis que est de la forme avec   premier et

Si alors donc est composé d'un seul élément donc, ça veut dire que commute avec tous les éléments de donc est dans donc ?

Sinon, est un multiple de et ?

Peut être je peux écrire que:
et dans ce cas, est forcément un multiple de donc différent de 1 donc ne peut pas être constitué que du singleton ?

Le dernière phrases est presque bonne mais le reste est faux.
La première égalité est fausse par exemple, parce que la somme devrait porter sur une sélection de représentants de chaque classe et non sur tous les x appartenant à G. La tu sommes beaucoup trop de cardinaux !

Pour la forme de card(cl(x)), ça ne découle pas de la somme précédente. Tu le savais déjà depuis la question c), puisque ce nombre divise le cardinal de G.


Enfin bref
Pour en revenir à l'exercice, une fois que tu auras écrit la somme avec la bonne indexation, il s'agit effectivement de la casser en deux. Un partie qui concerne les éléments du centre (ceux qui commutent avec tous les autres), et l'autre qui concerne les autres. Ensuite, c'est comme tu as dit, une histoire de multiples de p, dont la différence est forcément un multiple de p aussi

ah...

Je ré-essaye donc.
Peut-être que je ne comprends bien un truc (enfin plusieurs ).

Pour moi, .
Mon problème est de savoir où vit et pour moi vit dans .
Donc je dirai que
est-ce que cela est juste ?

Cette union est parfaitement valable, mais le but c'est d'utiliser le fait que G/R est une partition de G. Si tu préfères, on dit que le cardinal de G est la somme des cardinaux de chacune des classes.

Si on appelle les les m éléments de G/R, il existe des éléments de G tels que .
Pour ce choix particulier de représentants, nous avons donc .

Maintenant à toi de nous dire ce que tu comptes faire pour faire apparaitre |Z(G)| là dedans

erci pour cette clarification.

Je voudrais écrire que:



Normalement, les termes de cette somme sont des multiples de p, donc

Si un élément est seul dans sa classe, la question c) montre que son centralisateur est G tout entier, donc qu'il commute avec tout le monde, et donc qu'il appartient au centre de G.
Réciproquement, si un élément est dans le centre de G, il commute avec tout le monde, donc son centralisateur est G, donc il est seul dans sa classe d'après c).
Ca veut dire que ta formule est bonne, à condition de bien préciser l'ensemble sur lequel tu prends les indices i

Sinon, tu peux aussi utiliser le morphisme qui envoie g sur l'automrphisme intérieur . Le noyau de ce morphisme est Z(G). En appliquant le théorème de factorisation, la question d) se résume à exhiber un automorphisme qui ne soit pas intérieur.

Ta réponse à la question d) nous dit qu'il existe effectivement un tel automorphisme, et qu'il est d'ordre une puissance de p. Mais à ma connaissance, on ne sait toujours pas démontrer la conjecture selon laquelle il existe toujours un automorphisme d'ordre exactement p

Merci de ton aide Ulmiere et merci aux autres intervenants pour leurs éclaircissements aussi.

J'ai trouvé cet exercice intéressant !