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Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle

Posté par
pat73 23-01-11 à 16:22

Bonjour,

Je cherche à obtenir le conjugué de ce nombre complexe : -3( cos pi/4 + isin pi/4 )
Je pense avoir réussi à la trouver mais je dois ensuite le mettre sous forme exponentielle et là ça bloque.
Je connais les formules et tout mais j'ai dû me tromper quelque part.
Merci par avance

Posté par
Leonegresre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:24

Bonjour,

Qu'as-tu fait alors pour commencer ?

Léo

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:25

bonsoir

on fait le schéma

forme algé > forme trigo > forme expo

tu as quel forme là ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:26

Leonegres : re! ^^

Posté par
Leonegresre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:26

Cette fois-ci je te laisse.

Léo

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:29

Merci de vos réponses.

Alors j'ai donc mon nombre complexe donné ci dessus,
je l'ai transformé en forme trigonométrique ce qui nous donne : 3( cos 5pi/4 + isin 5pi/4 )
et après je pensais faire la formule r*cos Téta = a puis r*sin Téta = b ce qui nous donne 7pi/4 pour enfin écrire le nombre complexe sous forme algébrique : z1 = 7pi/4 + i*7pi/4 et son conjugué z1barre = 7pi/4 - i*7pi/4 ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:29

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{z = -3(cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)}

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:32

Oui c'est bien ce complexe au départ

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:33

tu as eu le bon réflexe de transformer pour mettre sous forme trigonométrique

la forme trigo d'un complexe EST DIRECTEMENT liée à la forme exponentielle
alors il ne te restait plus qu'une SEULE étape

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{Cour: \\ \\ z = r(cos\theta + isin\theta) \\ \Leftrightarrow \\ z = r.e^{i\theta}}

l'argument tu l'as, le module tu l'as >> la forme exponentielle tu peux donc l'avoir

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:36

Oui oui ça c'est ok mais le problème est que je n'arrive pas à obtenir la forme exeponentielle (et déjà la trigo) du conjugué de mon complexe de départ =/ soit z1barre = 7pi/4 - i*7pi/4
Faut-il pour calculer module et arguement ce complexe utiliser une valeur approchée des pi ou je me suis trompé dans un calcul ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:49

AH   TU RECHERCHE LE CONJUGUE !!!

---------------------

le conjugué: UNE SEULE CHOSE CHANGE:

le signe du coefficient de (i) !

alors, là, y a une façon hyper simple de le faire,  met mon z sous forme expo, et avec la forme expo, trouve conjugué de (z)

ou alors , si tu veux travailler avec la forme trigonométrique absolument :

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{z = -3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\) = 3(\cos\(\frac{5\pi}{4}\) + isin\(\frac{5\pi}{4}\) = 3(\cos\(\frac{-3\pi}{4}\) + isin\(\frac{-3\pi}{4}\)}

là , tu peux passer à la forme expo ET déduire conjugué

sinon:

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{z = 3(\cos\(\frac{-3\pi}{4}\) + isin\(\frac{-3\pi}{4}\) \\ \\ \Rightarrow \, \bar{z} = \bar{3(\cos\(\frac{-3\pi}{4}\) + isin\(\frac{-3\pi}{4}\)} = ??}

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:52

Citation :
soit z1barre = 7pi/4 - i*7pi/4


quand tu es passé sous la forme algébrique, tu t'es trompé

cos(kpi/4) et sin(kpi/4)  sont des valeurs remarquables

(2)/2

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:53

Je n'ai pas tout compris désolé ^^ Je dois mal m'exprimer je vais écrire textos ce qui a dans l'énoncé :

Déterminer la forme exponentielle du conjugué des nombres complexes suivants :
z1 = -3(cos pi/4 + isin pi/4 )

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 16:56

ok

1ère étape: déterminer le conjugué  (après tu verras que l'inverse est BIEN possible)

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{z = -3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)) \\ \\ \Rightarrow \, \bar{z} = \bar{-3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\))} = ??}

N'oublie PAS,  lorsqu'on CALCULE LE conjugué:   SEUL LE SIGNE de (i) change

alors , ça donne ?

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:00

Est-ce que ca ferait 3(cos pi/4 - isin pi/4) ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:03

Citation :
Est-ce que ca ferait 3(cos pi/4 - isin pi/4) ?

si tu as oublié le signe (-) devant 3:  OUI

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{z = -3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)) \\ \\ \Rightarrow \, \bar{z} = \bar{-3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\))} = -3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) - isin\(\frac{\pi}{4}\))}

LA SEULE CHOSE QUE j'ai CHANGE c'est le signe devant (i)    RIEN D'AUTRE NE BOUGE !

maintenant, > forme trigo, ensuite >  forme expo

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:04

Oui oui pardon ^^ c'est comme z = a + bi zbarre = a - bi ? (pour retenir)
sinon je vais calculer la forme trigo

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:05

Citation :
c'est comme z = a + bi zbarre = a - bi ? (pour retenir)

exactement!

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:05

Ah ben facile, la forme trigo c'est 3(cos 5pi/4 - isin 5pi/4) ?

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:07

Or je sais que (cos téta + isin Téta) = e^iTéta est-ce que j'ai le droit de dire que
(cos téta - isin Téta) = e^-iTéta ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:07

non!

dans la forme trigo, pas le signe (-) qui apparait devant sin

tu as utilisé la mauvaise formule ?

ensuite, il bien préférable d'écrire les angles dans leur valeur principale..

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:08

a zut, j'crois que je me trompe pour obtenir la forme trigo quelle est la formule stp ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:11

Citation :
Or je sais que (cos téta + isin Téta) = e^iTéta est-ce que j'ai le droit de dire que
(cos téta - isin Téta) = e^-iTéta ?

non, ça ne fonctionne pas dans ce sens.

dans la forme trigo, il n'y a pas de signe (-) "différence" !!
ce que j'ai souligné n'est donc pas une forme trigo, d'où ma réponse: non t'as pas le droit

----------------------------------------

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{\bar{z} = -3(\cos\(\frac{\pi}{4}\) - isin\(\frac{\pi}{4}\)) = 3(-\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\))}

il faut transformer l'intérieur de la parenthèse, Utiliser les formules trigonométrique

je te laisse chercher la bonne , où je te montre comment l'as trouver ou alors je te donne la réponse ?

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:12

Citation :
... ou je te montre comment la trouver ou alors je te donne la réponse ?

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:12

je veux bien la méthode ^^

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:15

3(cos 3pi/4 + isinpi/4) ?

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:25

La réponse alors mdr ^^

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:29

z = -3(cos(pi/4) + isin(pi/4))

z = 3.(cos(5Pi/4) + i.sin(5Pi/4))

z = 3.e^(i.((5Pi/4 + 2k.Pi))

z barre = 3.e^(i.(-5Pi/4 + 2k.Pi))

et avec k = 1 : z barre = 3.e^(i.(3Pi/4))
-----
Sauf distraction.  

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:31

Jp tu voulais partir de z = -3(cos(pi/4) - isin(pi/4)) non ? merci

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:36

a non désolé est-ce que c'est juste si je rajoute une étape (pour comprendre entre ta ligne 1 et 2 donc :

1 : z = -3(cos(pi/4) + isin(pi/4))
1' : z =  3(-cospi/4  - isin(pi/4))
1" : z =  3(cos5pi/4 + isin 5pi/4) ce qui nous donne ta ligne 2 ? cc'est ca ? merci

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:39

la méthode: c'est le cercle

1° représenter -cos(pi/4)  mauve
ET
sin(pi/4)  rose

ça donne:
Conjugué d\'un nombre complexe sous forme exponentielle


2° ce qu'on cherche à établir:
-cos(pi/4) = cos(a)
sin(pi/4) = sin(a)

cet angle (a) doit être le même
pour trouver ce (a)  on joue avec les couleurs (on les déplace ..) dans notre cas c'est immédiat

sin(pi/4) = sin(3pi/4) aussi
-cos(pi/4) = cos(3pi/4)

Conjugué d\'un nombre complexe sous forme exponentielle

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:42

Citation :
3(cos 3pi/4 + isinpi/4) ?


OUI, on trouve pareil..

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:42

Ca c'est de la réponse, merci beaucoup mdr-non je comprend mieux.

Posté par
Leonegresre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:47

Et oui, avec Mdr on est d'accord sur le niveau des réponses.

A bientôt alors.

Léo

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:47

Citation :
La réponse alors mdr ^^

le temps de faire les figures, mettre de la couleur ...

--------------

4$ \textrm \opaque \reverse \blue \fbox{\bar{z} = 3(-\cos\(\frac{\pi}{4}\) + isin\(\frac{\pi}{4}\)) = 3(\cos\(\frac{3\pi}{4}\) + isin\(\frac{3\pi}{4}\)) \\ = 3.e^{i\frac{3\pi}{4}}}

Posté par
mdr_nonre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:49

Citation :
Ca c'est de la réponse,

Citation :
Et oui, avec Mdr on est d'accord sur le niveau des réponses.

^^, merci du compliment..

Posté par
pat73re : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 23-01-11 à 17:50

Oui merci à tous. Bonne soirée

Posté par
Leonegresre : Conjugué d'un nombre complexe sous forme exponentielle 24-01-11 à 17:30

A bientôt alors.

Leo


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