on va montrer que les seules parties ouvertes et fermées de f(E) ...

Bonsoir, Rouliane.

x est dans f^(-1)(B) si et seulement si f(x) est dans B, donc si et seulement si f(x) est dans l'intersection de O et de f(E) (rappel: B est l'intersection de O et de f(E)) donc si et seulement si f(x) appartient à f(O) donc si et seulement si x appartient à f^(-1)(0).

Même démonstration avec F.

Perroquet,

Je ne comprends pas comment on peut  parler de f(O) alors que O est dans E'

Erreur de frappe de ma part. Il fallait lire:

"f(x) appartient à O"

Ok.

Mais je comprends pas, B ets l'intersection de O et de f(E), donc je peux très bien avoir des éléments de O qui ne soient pas dans B, non ?
et alors on n'aurait pas l'égalité, non ?

Oui, mais

"f(x) appartient à O"

est équivalent à:

"f(x) appartient à O" et "f(x) appartient à f(E)"

donc à

"f(x) appartient à l'intersection de O et de f(E)"

Oui, mais ces éléments ne peuvent pas s'écrire sous la forme f(x), puisqu'ils ne sont pas dans f(E).

ah d'accord, merci !

Je reviens parce qu'en fait j'ai pas compris !

Si je fais la démo, j'écris que

Jusque là c'est bon ou pas ?

je crois que je viens de comprendre, les éléments de O ne sont pas forcément tous des images d'élements de E.
En fait Perroquet l'avaot très bien dit, mais "dans ma tete", tous les éléments de O avaient un antécédent par f ce qui n'est bien sur pas forcément le cas.

Merci de me dire si tout ça est enfin juste

Oui

Merci.

Autre question que je me pose : a-t-on toujours ()= ?

Oui

Merci.

Une autre question ( décidément j'y comprends rien ) : on veut montrer qu'un espace (E,d) est connexe ssi l'application f : E --> D est constante. ( D={0,1} )

==> On suppose E connexe, donc f(E) connexe, donc f constante car D n'est pas connexe et contient 2 éléments.

Tu pourrais m'expliquer parce que là j'arrive pas à voir le rapport ?

D est muni de la topologie induite par la topologie naturelle de R. Les ouverts de D sont {0,1},{0},{1},ensemble vide. {0} est donc à la fois une partie ouverte et fermée de D. D n'est donc pas connexe puisqu'il contient des parties à la fois ouvertes et fermées, qui ne sont ni D ni l'ensemble vide.

la non connexité de D ne m'a pas posée de problème ( c'est la réunion de 2 ouverts disjoints {0}U{1} ) mais je comprends rien à la preuve, quel rapport entre f(E) connexe et f constante car D n'est pas connexe et contient 2 éléments ?

Supposons que f ne soit pas constante. Alors, f(E) n'est égal ni à {0}, ni à {1}. La seule possibilité est que f(E)=D. Mais on obtient une contradiction, puisque f(E) est connexe et puisque D ne l'est pas.
Donc, f est constante.

ah ok merci beaucoup !

Je reviens sur un des messages précédents :

Tout singleton est fermé, c'est évident.
Ensuite, que peux tu dire d'une boule centrée en 0 et de rayon 1/2 par exemple (plus généralement, de rayon r, r<1 ) ?

{0} est une partie ouverte de D (intersection de D et de l'ouvert de R ]-1/2,1/2[).
{0} est une partie fermée de D parce que son complémentaire dans D est égal à {1}, qui est une partie ouverte de D

Merci à vous.

Perroquet, c'est quel théorème ou définition que tu utilises quand tu caractérique {0} comme intersection de D et de l'ouvert de R ]-1/2,1/2[ ?

Otto, je vois pas trop, le but ici est de montrer qu'il existe une boule ouverte incluse dans la partie ? ( ça me parait dur pour un singleton )

D est une partie d'un espace topologique E.

Une partie A de D est un ouvert de D si et seulement si A est l'intersection de D et d'un ouvert de E.

Merci, je ne connaissais pas cette caractérisation

C'est pourtant cette propriété qui est utilisée dans la démo que tu évoquais dans ton post de  21h15

Citation :
Soit B une partie ouverte et fermée de f(E). Il existe alors O ouvert, et F fermé de E', tels que .

oui c'est vrai mais disons que ça me paraissait évident là, mais moins dans ton message précédent

Sur ce, je vais me coucher, je suis claqué, merci beaucoup en tout cas à toi et à otto !

As tu calculé, comme je te l'ai conseillé, la boule de rayon 1/2 et de centre 0 ?

Otto, je dirais que B(O,1/2)={x/|x|<1/2}={0}

Bonsoir,

Me revoilà avec la connexité, j'y comprends rien

Je suis toujours sur la démo de "(E,d) est connexe ssi  toute application continue f : E --> D est constante. ( où D={0,1} ) "

Voilà la démo de la réciproque que je ne comprends pas :

supposons E non connexe. Alors E peut s'écrire où et sont 2 ouverts disjoints non vides de E. Soit f : E--> D définie par f(x)=0 si et f(x)=1 si .
Elle est continue ( l'image réciproque de tout ouvert est un ouvert ) ce qui est contraire aux hypothèses puisqu'elle est non constante. Finalement E est connexe.


Voilà, donc j'ai du mal un peu à comprendre cette démo.
On suppose pour montrer la réciproque que toute application continue f : E --> D est constante.
On va montrer par l'absurde que E est connexe.
En écrivant mon message, j'ai l'impression de comprendre que pour montrer que c'est absurde, on va exhiber une application f de E dans D qui n'est justement pas constante, est-ce bien ça ?
je trouve en tout cas mal formulé le " Elle est continue [...] ce qui est contraire aux hypothèses puisqu'elle est non constante " j'aurais plutot dit " elle est continue, mais non constante, ce qui est contraire aux hypothèses "

Mais ai-je bien compris finalement le principe de cette réciproque ?

Salut Rouliane

oui, tu as compris le principe.
Seulement, le truc qui semble te troubler est simplement une histoire de logique.
En effet, l'hypothèse dont on part est le fait que l'implication est toujours vraie.

De manière équivalente, l'implication ) est aussi vraie.

Ici, on a exhibé une fonction qui niait cette implication. Voilà tout.

Kaiser

Merci Kaiser, mais je ne comprends pas : ici on suppose que tout application f est continue et constante, en aucun cas une implication ?

non laisse tomber, j'ai compris, l'hypothèse de départ c'est f continue ssi f constante c'est ça ?

justement si le fait de dire que toute application continue est constante revient à dire " si f est une fonction continue alors f est constante".

Kaiser

uniquement l'un des deux implications (l'autre étant toujours vraie).

Kaiser

ah oui bien sur merci

Sinon, pour voir si j'ai bien compris, pour justifier que f est continue il faut justifier que l'image réciproque de tout ouvert de D est un ouvert de E.

{0} est un ouvert de D car {0}=D]-1/2;1/2[ ( merci à perroquet ) et ({0})= qui est un ouvert.

{1} est un ouvert de D car {1}=D]1/2;3/2[  et ({1})= qui est un ouvert.

{0,1}={0}U{1} est un ouvert car c'est mon espace tout entier ( qui est donc à la fois ouvert et fermé ) et ({0,1})=E qui est ouvert par hypothèse ( union de 2 ouverts et ).

Finalement, tout ouvert de D est un ouvert de E donc f est continue.

En gros c'est ça ou pas ?

oui, j'ai écrit n'importe quoi.
D'accord, E est un ouvert car c'est l'espace de départ qui est donc à la fois ouvert et fermé.
D'ailleurs pourquoi l'espace tout entier est toujours considéré comme à la fois ouvert et fermé ?

c'est toujours comme ça.
sais-tu ce qu'est une topologie ?

Kaiser

la topologie de E c'est l'ensemble des parties ouvertes de E

mais j'avoue que j'ai jamais compris à quoi ça "servait"

oui mais c'est une notion plus générale que ça.
On peut mettre une topologie sur n'importe quel ensemble (donc pas besoin de norme ou de distance).

Plus précisément, si on dispose d'un ensemble E et T un ensemble de parties de E, alors on dit que T est une topologie sur E si :

1)
2)
3) T est stable par union quelconque et intersection finie

Les éléments de T sont appelés des ouverts.
On appelle fermé le complémentaire d'un ouvert.

Avec cette définition, tout ensemble est ouvert de lui-même.

Avec la définition habituelle, c'est aussi le cas.
En effet, si x est dans E, alors la boule de centre x et de n'importe quel rayon est incluse dans E.
Cela vient de la définition des boules : dans les boules, il n'y que des éléments de E.
En fait, la notion de boule dépend d'où l'on se place.

Kaiser

merci je savais pas tout ça !

Je t'en prie !