Bonsoir Nyadis,

une petite piste si tu as vu le théorème suivant :



(tu peux remplacer Z par tout espace topologique discret en réalité)

On prend alors continue. Comme est connexe, la restriction de f à ce sous ensemble de A est continue. Par le théorème, f est constante égale à c sur cet ensemble. On pose maintenant




tu peux voir qu'elle est bien définie grâce au fait que f est constante sur A inter B.
Le but c'est de montrer que F est continue, et pour ça tu prends des fermés de Z et tu regardes leur image réciproque par F. Comme A et B sont deux fermés de A union B, par principe de recollement, tu vas pouvoir conclure assez rapidement

Je précise :

Kernelpanic @ 13-12-2019 à 19:01



On prend alors continue.  La restriction de f à A inter B sous ensemble de A est continue. Comme est connexe, par le théorème f est constante égale à c sur cet ensemble. On pose maintenant




Le but c'est de montrer que F est continue, et pour ça tu prends des fermés de Z et tu regardes leur image réciproque par F. Comme A et B sont deux fermés de A union B qui recouvrent cette réunion, par principe de recollement, tu vas pouvoir conclure assez rapidement

Ou bien plus manuellement,

Les cas A = B, et où  A et B seraient disjoints sont faciles.
Si A est réunion de deux ouverts U et V disjoints non triviaux, alors

A∩B = (U∪V)∩B = (U∩B)∪(V∩B) est réunion de deux ouverts (de A et B donc de A∩B pour la topologie "trace") disjoints non triviaux

etc

merci beaucoup

    L'ensemble vide est connexe  puisque  " les seuls ouverts-fermés de  E := ∅   sont ∅ et E "

Par suite ,  il existe au moins une situation où  ce que l'énoncé demande de prouver est faux .
En effet et E \  ne sont pas connexes bien que l eur réunion et leur intersection le soient .

La question parle de deux fermés, ce que Q n'est pas