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Connexité d'une sphère
Bonjour,
Soit X = {(x,y,z) 
R^3 ; x^2+y^2+z^2 = 4}
Je veux montrer que cet ensemble est connexe par arc. C'est une sphère de rayon 2.
C'est assez simple de visualiser le fait que deux points de la sphère peuvent être reliés par un arc appartenant à la sphère, mais je ne sais pas comment le démontrer..
Merci pour votre aide.
Bonjour wuksey.
Je vois deux façons de procéder, mais il y en a d'autres (je travaille sur , la sphère unité de
) :
1- soient A et B deux points non antipodaux de .
Tu considères un paramétrage le plus simple possible du segment [A;B] que tu composes avec l'application
2- Les mêmes point A et B (qui peuvent être ici antipodaux) donnent naissance à un plan (AOB) où O est le centre de . L'intersection
est un cercle, donc connexe. Reste à montrer que le cercle est connexe ?
Précision dans 2- : Si A et B sont antipodaux, un plan passant par A, O et B n'est évidemment pas unique. On en choisit un et la conclusion reste la même.
La sphère privée d'un point est isomorphe a un plan. Du coup la sphere c'est le recollement de deux plans selon un ouvert non vide. Elle est donc connexe.
Merci pour l'aide !
La méthode 2- de jsvdb me parle le plus mais j'essaye aussi de me pencher sur les autres idées.
Pour la 2- :
Il suffit ensuite de montrer que le cercle est connexe.
Et ça je sais même pas le faire. Il faudrait faire un paramétrage du cercle ?
Montrer que pour deux points du cercle, il existe un chemin allant de l'un à l'autre et qui reste sur le cercle...
Juste pour être sûr que j'ai bien compris (je suis vraiment à l'ouest dans cette matière...) :
Le cercle unité est l'image de e^ix pour x allant de 0 à 2pi. Comme [0,2pi] est connexe, que l'exponentielle est continue, alors le cercle unité est connexe c'est ça ?
La méthode 2- me parle le plus
La méthode 1- que je préconise est bête comme choux :
Le paramétrage du segment est
Après, si , on choisit un point C sur la sphère, qui ne soit ni A ni B, et on concatène les deux segments [A;C] avec [C;B] et on remouline à nouveau avec la fonction
Juste un point, on a pas trop fait de différence ici entre connexe et connexe par arcs, ce qui est loisible car les espaces que tu considères (la sphere, le cercle) sont localement connexes par arcs, donc les deux notions coïncident.
Il y a des "par arcs" à ajouter aux endroits clés si tu veux te simplifier la vie.
Ok j'ai bien compris le 1- merci !
Je sais juste pas pourquoi le lacet c'est x/||x|| mais c'est pas grave !
Sinon :
Le cercle unité est l'image de e^ix pour x allant de 0 à 2pi. Comme [0,2pi] est connexe, que l'exponentielle est continue, alors le cercle unité est connexe c'est ça ?
C'est bien ça ?
Non, le lacet n'est pas x/||x|| mais la composée de x/||x|| avec le lacet qui paramètre le segment [A;B].
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