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Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exemple

Posté par
marcsa
21-05-22 à 10:55

Bonjour,

J'ai démontré lors d'un exercice, que si on considère un espace métrique compact et (x_n) une suite de cet espace telle que d(x_n+1-x_n) tend vers 0, alors l'ensemble des valeurs de (x_n) est connexe.

Je cherche une contre exemple :
- dans le cas où on ne serait pas dans un compact (par exemple en dimension 1 si j'ai une suite non bornée),
- dans le cas où la distance ne tend pas vers 0

mais je n'y parviens pas.

Auriez-vous une idée s'il vous plaît ?

merci et bonne journée

Posté par
carpediem
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 11:15

salut

marcsa @ 21-05-2022 à 10:55

si on considère un espace métrique compact et (x_n) une suite de cet espace telle que d(x_n+1-x_n) tend vers 0, alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de (x_n) est connexe.


x_n = (-1)^n ...

Posté par
marcsa
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 11:27

Bonjour,

les valeurs d'adhérence de cette suite sont -1 et 1, donc on n'a pas connexité
mais je ne vois pas pourquoi les hypothèses ne sont pas satisfaites : cette suite est bornée, et si n est impair, on a $x_{n+1}-x_n =0

Posté par
marcsa
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 12:27

en fait je n'ai pas l'impression que cette suite  illustre les 2 contre-exemples que j'aimerais trouver, mais peut-être que je loupe quelque chose

Posté par
carpediem
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 13:04

ça m'étonnerait que la différence de deux termes consécutifs soit nulle ...

et si tu veux un cas "moins" particulier : x_n = (-1)^n \left(1 + \left( \dfrac 1 2 \right)^n \right)

Posté par
marcsa
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 13:32

Si je prends n Impair, j'ai (-1)^{n+1}-(-1)^n =-1-1=-2, non ?

Mais je ne vois toujours pas pourquoi votre second exemple ne vérifie pas l'hypothèse de bornitude

Posté par
carpediem
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 13:48

je ne vois pas comment une suite non bornée pourrait avoir des valeurs d'adhérence ...

dans mon premier exemple la distance de termes consécutifs est 2 (|1 - (1)| ou |-1 - 1|) donc constante

dans le deuxième cas elle n'est pas constante mais ne tend pas vers 0 ...

Posté par
GBZM
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 14:27

Bonjour,

Dans le cas où la distance entre deux termes successifs ne tend pas vers 0, il est facile d'avoir un contre-exemple, ceci a déjà été discuté.

Dans le cas où l'espace d'arrivée n'est pas compact, c'est un peu plus délicat. On peut trouver une suite dans \R^2 dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est \{ (x,y)\in \R^2\mid x\geq 1 \text{ et } x^2y^2=1\}. Cet ensemble a deux composantes connexes qui sont des fermés à distance nulle l'un de l'autre (ces composantes sont des morceaux d'hyperboles d'asymptote commune l'axe des x. L'idée pour construire une telle suite est de se déplacer avec des pas de plus en plus petits sur une des hyperboles, de sauter sur l'autre quand on s'en rapproche suffisamment etc.
On peut remarquer que sur une droite il est impossible d'avoir deux fermés connexes disjoints à distance nulle.

Posté par
GBZM
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 15:20

carpediem @ 21-05-2022 à 13:48

je ne vois pas comment une suite non bornée pourrait avoir des valeurs d'adhérence ...

C'est pourtant tout à fait banal, et je pense qu'en réfléchissant tu pourras trouver une suite non bornée de réels dont l'ensemble des valeurs d'adhérence est \R tout entier.

Posté par
marcsa
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 15:34

merci !

Posté par
GBZM
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 17:41

Avec plaisir.

Posté par
carpediem
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 21-05-22 à 18:41

GBZM : merci ...

effectivement quelque chose du genre x_n = n \cos n $ ou $ x_n = e^n \cos n devrait convenir ...

Posté par
GBZM
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 22-05-22 à 09:26

Oui, et on peut faire sans résultat un peu fin de densité et avec une suite dont les différences entre termes successifs tendent vers 0 : aller de 0 à 1 avec un pas de 1, de 1 à -2 avec des pas de 1/2, de -2 à 3 avec des pas de 1/3, de 3 à -4 avec des pas de 1/4 etc.

Posté par
carpediem
re : Connexité des valeurs d'adhérence d'une suite contre-exempl 22-05-22 à 10:41

merci



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