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Connexité par arc.
Bonsoir,
G est un ensemble connexe par arc. J un sous ensemble à la fois ouvert est fermé. Je ne comprend pas pourquoi on peut en déduire que si J est différente du vide alors J = G.
A ma connaissance être connexe par arc c'est qu'entre deux points quelconque de G je peux trouver un chemin continu.
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour, karim.
Si J est à la fois ouvert et fermé, l'application est continue, puisque l'image réciproque de tout ouvert de R est égale soit à J, soit au complémentaire de J, soit à l'ensemble vide, soit à G (dans tous les cas un ouvert de G).
Comme G est connexe par arcs, l'image de G par cette application est un connexe par arcs de R, donc un intervalle. Cet intervalle est inclus dans {0,1}, n'est pas égal à {0}, puisque J n'est pas l'ensemble vide. Il ne peut donc qu'être égal à {1}. Et, dans ce cas, J est égal à G.
mais là j'ai peur de confondre cette notion avec une notion que notre prof nous a donné : la connexité. Là c'est comme si on disait que connexe par arc c'est connexe non ?
Ensuite qu'est ce que ton application Xj que tu définis ?
est la fonction indicatrice de J. C'est une application qui à tout élément x de G associe 1, si x est dans J, O si x n'est pas dans J.
La connexité par arcs implique la connexité.
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