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constante gamma

Posté par Djeffrey (invité) 27-10-05 à 15:08

Bonjour a tous

J'ai un exo sur les series encore et celui ci j'ai pas ecris la moindre info dessus depuis que j ele bosse je suis mal parti, voila de quoi il s'agit...

Un entier q>1 etant donné, on pose \epsilon_n=q-1 si n est multiple de q, -1 sinon.
On definit alors U_n=\frac{\epsilon_n}{n}log_q(n) et V_n=\frac{\epsilon_n}{n}E(log_q(n))

Justifier la convergence de ces deux series, puis montrer que : \Bigsum_{n=1}^\infty U_n=\gamma-\frac{ln(q)}{2}   et   \Bigsum_{n=1}^\infty V_n=\gamma

Voila vous me direz ce que vous en pensez moi ca me laisse assez inactif...
Merci a tous

Posté par Djeffrey (invité)re : constante gamma 29-10-05 à 10:32

eh bien ca n'a pas l'air de plus vous inspirer que moi...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : constante gamma 30-10-05 à 17:44

Bonjour Djeffrey;
Je vais commencer par montrer que 4$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}V_n=\gamma}
Pour cela j'utiliserai le résultat suivant:
3$\red\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=ln(n+1)+\gamma-\frac{1}{2(n+1)}+o(\frac{1}{2(n+1)})} dont tu trouveras une preuve au topic récurrence atroce

Notations:
(*)3$\fbox{N} désignera un entier déstiné à tendre vers +\infty ( on le choisira donc assez grand ).
(*)3$\fbox{n=E(log_q(N))-1} on a donc 3$\fbox{q^{n+1}\le N\le q^{n+2}-1}.
(*)3$\fbox{\forall k\ge0\\P_k=\Bigsum_{i=q^k}^{q^{k+1}-1}V_i} et 3$\fbox{\forall k\ge0\\\{{H_0=0\\H_k=\Bigsum_{i=1}^{q^k-1}\frac{1}{i}}.
Résolution:
Avec ces notations on peut écrire que:
3$\fbox{{\Bigsum_{i=0}^{N}V_i=\underb{\Bigsum_{i=0}^{q^{n+1}-1}V_i}_{3$A_N}+\underb{\Bigsum_{i=q^{n+1}}^{N}V_i}_{3$B_N}} dans la suite je montrerai successivement que 3$\fbox{et\{{\lim_{N\to+\infty}A_N=\gamma\\\lim_{N\to+\infty}B_N=0} ce qui donnera le résultat cherché.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : constante gamma 30-10-05 à 18:57

3$\fbox{A_N=\Bigsum_{k=0}^{n}\Bigsum_{i=q^k}^{q^{k+1}-1}V_i=\Bigsum_{k=0}^{n}P_k}
remarquons maintenant que:
(*)pour 2$\fbox{i\in I_k=\{q^k,..,q^{k+1}-1\}} on a 2$\fbox{k\le log_q(i)<k+1} et donc que 2$\fbox{E(log_q(i))=k}
(*)pour k\ge1 l'ensemble des éléments de I_k qui sont mutiples de q est 2$\fbox{J_k=\{iq\hspace{5}/q^{k-1}\le i\le q^{k}-1\}}
avec ces remarques on voit que:
3$\fbox{P_k=k\Bigsum_{i=q^k}^{q^{k+1}-1}\frac{\epsilon_i}{i}} ( noter au passage que P_0=0 )
3$\fbox{P_k=k\Bigsum_{i\in J_k}\frac{\epsilon_i}{i}+k\Bigsum_{i\in I_k-J_k}\frac{\epsilon_i}{i}=k\Bigsum_{i\in J_k}\frac{q-1}{i}+k\Bigsum_{i\in I_k-J_k}\frac{-1}{i}=k\Bigsum_{i\in J_k}\frac{q}{i}-k(\Bigsum_{i\in J_k}\frac{1}{i}+\Bigsum_{i\in I_k-J_k}\frac{1}{i})=k\Bigsum_{i=q^{k-1}}^{q^k-1}\frac{1}{i}-k\Bigsum_{i=q^k}^{q^{k+1}-1}\frac{1}{i}}
c'est à dire que 3$\fbox{P_k=k(H_k-H_{k-1})-k(H_{k+1}-H_k)}
ou encore 3$\fbox{P_k=(k-1)(H_k-H_{k-1})-k(H_{k+1}-H_k)+(H_k-H_{k-1})} en sommant:
4$\fbox{A_N=-n(H_{n+1}-H_n)+(H_n-H_0)=(n+1)H_n-nH_{n+1}} merci la téléscopie
En utilisant l'expression en rouge on a que:
4$\fbox{A_N=(n+1)(ln(q^n)+\gamma-\frac{1}{2q^n}+o(\frac{1}{2q^n}))-n(ln(q^{n+1})+\gamma-\frac{1}{2q^{n+1}}+o(\frac{1}{2q^{n+1}}))=\gamma+O(\frac{n}{q^n})}
et vu que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\frac{n}{q^n}=0} on a que 3$\blue\fbox{\lim_{N\to+\infty}A_N=\gamma}
(à suivre)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : constante gamma 30-10-05 à 21:34

Notons 3$\fbox{I_N=\{q^{n+1},..,N\}\\J_N=\{iq\hspace{5}/q^n\le i\le E(\frac{N}{q})\}} il est facile de voir que J_N est exactemant l'ensemble des éléments de I_N qui sont mutiples de q.On peut alors écrire que:
3$\fbox{B_N=\Bigsum_{i\in J_N}V_i+\Bigsum_{i\in I_N-J_N}V_i=(n+1)(\Bigsum_{i\in J_N}\frac{q-1}{i}-\Bigsum_{i\in I_N-J_N}\frac{1}{i})=(n+1)(\Bigsum_{i\in J_N}\frac{q}{i}-\Bigsum_{i\in I_N}\frac{1}{i})=(n+1)(\Bigsum_{i=q^n}^{E(\frac{N}{q})}\frac{1}{i}-\Bigsum_{i=q^{n+1}}^{N}\frac{1}{i})}
ou encore que 4$\fbox{B_N=(n+1)(T_{E(\frac{N}{q})}-T_{q^n-1}-T_N+T_{q^{n+1}-1})} où 4$\fbox{T_k=\Bigsum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}}
et en utilisant l'expression en rouge on a que
3$\fbox{T_{E(\frac{N}{q})}-T_N=ln(E(\frac{N}{q})+1)+\gamma-\frac{1}{2(E(\frac{N}{q})+1)}+o(\frac{1}{E(\frac{N}{q})+1})-ln(N+1)-\gamma+\frac{1}{2(N+1)}+o(\frac{1}{N+1})}
et en remarquant par encadrement de la partie entière que 3$\fbox{\frac{N}{N+1}\le q\frac{E(\frac{N}{q})+1}{N+1}\le\frac{N+q}{N+1}} on voit que 3$\fbox{ln(1-\frac{1}{N+1})\le ln(q)+ln(\frac{E(\frac{N}{q})+1}{N+1})\le ln(1+\frac{q-1}{N+1})} et donc que 3$\fbox{ln(E(\frac{N}{q})+1)-ln(N+1)=-ln(q)+O(\frac{1}{N+1})= -ln(q)+O(\frac{1}{q^n})} et donc que 4$\fbox{T_{E(\frac{N}{q})}-T_N=-ln(q)+O(\frac{1}{q^n})} de la m^me manière on établit que:
4$\fbox{T_{q^{n+1}-1}-T_{q^n-1}=ln(q)+O(\frac{1}{q^n})} et donc que:
4$\fbox{B_N=O(\frac{n+1}{q^n})} et il ne reste plus qu'à dire que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{q^n}=0} pour aboutir enfin à 5$\blue\fbox{\lim_{N\to+\infty}B_N=0}

Voilà,Djeffrey,fais un effort pour bien lire cette démonstration elle est un peu longue mais trés instructive et te donnera surement des idées pour calculer 4$\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}U_n}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : constante gamma 31-10-05 à 13:43

Djeffrey,peux tu poster le reste des questions de cet exercice (s'il en reste bien entendu)
Merci

Posté par Iounèl (invité)re : constante gamma 06-11-05 à 17:06

Bonjour Elhor et Djeffrey,

Une des questions posées par Djeffrey concernait la convergence des séries de termes généraux Un et Vn.

Ma question est : suffit-il de trouver la limite finie d'une série pour pouvoir affirmer qu'elle est convergente, un peu à l'instar d'une fonction dont il suffit d'exhiber la bijection réciproque pour pouvoir affirmer que cette fonction est bijective...

merci.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : constante gamma 06-11-05 à 20:03

Bonsoir Iounèl;
On se donne une suite numérique 3$\fbox{(x_n)_{n\ge n_0}} et un réel 3$\fbox{l}
3$\fbox{(\epsilon_n=x_n-l)_{n\ge n_0}}
Quand on montre que 4$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\epsilon_n=0} on a simultanément que:
(*) 4$\fbox{la\hspace{5}suite\hspace{5}(x_n)\hspace{5}est\hspace{5}convergente}.
(*) 4$\fbox{\lim_{n\to+\infty}x_n=l}
C'est exactement ce que j'ai fait en prenant 4$\fbox{n\ge1\\x_n=\Bigsum_{k=1}^{n}V_k} et 4$\fbox{l=\gamma}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par Iounèl (invité)re : constante gamma 06-11-05 à 22:20

Donc la suite des sommes partielles converge, ce qui implique la convergence de la série, d'accord !

Merci pour cette explication


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