Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Construction d'un bon ordre sur les réels

Posté par
SnowHunter 03-04-25 à 21:06

Bonjour,

Je travaille actuellement dans le contexte de mon projet de L3 sur l'axiome des choix et ses différents énoncés équivalences/conséquences. C'est alors que j'ai pu constater, en m'intéressant pour la première fois aux définitions, que $(\mathbb{R},\le)$ n'est pas bien ordonnée ! Heureusement, dans ZFC on sait qu'il existe un bon ordre sur $\mathbb{R}$ . Mais ma question est alors la suivante : peut-on construire un tel ordre dans ZFC ? Sinon, peut-on le faire dans un autre système d'axiomes ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Posté par re : Construction d'un bon ordre sur les réels 04-04-25 à 15:59

Bonjour

L'axiome du choix, le lemme de Zorn et le théorème de Zermelo sont équivalents dans ZFC. Donc "construire un bon ordre" sur ou sur n'importe quel autre ensemble n'est pas une vraie question.
Les démonstrations des équivalences mentionnées donnent des méthodes de passer de l'une à l'autre. Personnellement je ne crois pas avoir jamais vu un bon ordre explicite sur .