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Construction de Proba

Posté par
matheux14 07-08-24 à 04:28

Bonjour,

Merci d'avance.

Soit \alpha > 1, on construit la probabilité $\mathbb{P}_\alpha$ sur $(\mathbb{N}^*, \mathcal{P}(\mathbb{N}^*))$ en posant pour tout
$n \geq 1, \mathbb{P}_\alpha(n) = \dfrac{1}{\zeta(\alpha)} \dfrac{1}{n^\alpha}$ où $\zeta(\alpha) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^\alpha}$.

On note $(p_k)_{k \geq 1}$ la suite des nombres premiers.

1) Montrer que les événements \mathcal{A}_{p_k} = p_k \mathbb{N}^* sont indépendants.

2) Déterminer $\bigcap_{k \geq 1} \{ n \in \mathbb{N}^* / p_k \nmid n \}$ et en déduire la formule d'Euler

\prod\limits_{k=1}^{+\infty} \left(1 - \dfrac{1}{p_k^\alpha}\right)^{-1} = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^\alpha} = \zeta(\alpha).

3) Montrer que pour n \geq 1, \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \dfrac{1}{p_k}\right)^{-1} \geq \sum_{n=1}^{n} \dfrac{1}{k} et en déduire la nature de la série $\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{p_k}$.

Réponses

1) On montre que \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_1} \cap \mathcal{A}_{p_2} \cap \dots \cap \mathcal{A}_{p_{\infty}}\right) = \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_1}\right) \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_2}\right) \dots \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_{\infty}}\right)

\star \quad \begin{aligned} \\ \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_k}\right) &= \mathbb{P}_{\alpha}\left(p_{k}\mathbb{N}^*\right) \\ \\ & = \sum\limits_{n \in p_k \mathbb{N}^*} \mathbb{P}_{\alpha}(n) = \sum\limits^{+\infty}_{n = 1} \mathbb{P}_{\alpha}(p_k n) \\ \\ &= \sum\limits^{+\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{\zeta(\alpha)} \dfrac{1}{(p_kn)^{\alpha}} \\ \end{aligned}

Il vient \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_k}\right) = \dfrac{1}{p^{\alpha}_k} \sum\limits^{+\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}\zeta(\alpha)} = \dfrac{1}{p^{\alpha}_k} \Longrightarrow \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_1}\right) \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_2}\right) \dots \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_{\infty}}\right) = \prod\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{p^{\alpha}_k}

\star \quad Or

\begin{aligned} \\ \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_1} \cap \mathcal{A}_{p_2} \cap \dots \cap \mathcal{A}_{p_{\infty}}\right) &= \lim\limits_{m \longrightarrow \infty}\mathbb{P}_{\alpha}\left(p_1 \mathbb{N}^* \cap p_2 \mathbb{N}^* \cap \dots \cap p_m \mathbb{N}^*\right) \\ \\ &= \lim\limits_{m \longrightarrow \infty} \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathbb{N}^* \cap p_1 p_2 \dots p_m \mathbb{N}^*\right) \\ \\ &= \lim\limits_{m \longrightarrow \infty} \sum\limits_{n \in p_1 p_2 \dots p_m \mathbb{N}^*} \mathbb{P}_{\alpha}(n) = \sum\limits^{+\infty}_{n = 1} \mathbb{P}(p_1 p_2 \dots p_m n) \\ \\ &= \lim\limits_{m \longrightarrow \infty} \dfrac{1}{(p_1 p_2 \dots p_m)^{\alpha}} \sum\limits^{+\infty}_{n = 1} \dfrac{1}{\zeta(\alpha)} \dfrac{1}{n^{\alpha}} \\ \\ &= \dfrac{1}{(p_1 p_2 \dots p_m)^{\alpha}} = \prod\limits_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{p^{\alpha}_k} = \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_1}\right) \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_2}\right) \dots \mathbb{P}_{\alpha}\left(\mathcal{A}_{p_{\infty}}\right) \\ \end{aligned}

2) \bigcap_{k \geq 1} \{ n \in \mathbb{N}^* \mid p_k \nmid n \} représente l'ensemble des entiers naturels qui ne sont divisibles par aucun nombre premier.

\bigcap_{k \geq 1} \{ n \in \mathbb{N}^* \mid p_k \nmid n \} = \{1\}

Mais je ne vois pas comment apparaît celle d'Euler

3) Inégalité de Mertens : \prod\limits^n_{k = 1} \left(1 - \dfrac{1}{p_k}\right)^{-1} \sim e^{\gamma} \log(n) où e^\gamma est la constante d'Euler-Mascheroni.

Posté par
Atepadenere : Construction de Proba 07-08-24 à 11:49

Bonjour, tu peux écrire ton intersection comme l'intersection des \bar{A_{p_k}} , ensuite passer à la probabilité permet de conclure puisque tu connais la valeur de la probabilité du singleton 1.

Posté par
matheux14re : Construction de Proba 07-08-24 à 12:14

Effectivement, merci Atepadene


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