Niveau Reprise d'études

Construction des nombres réels : relation et classe

Posté par
Fractal 24-03-25 à 10:39

Bonjour à tous,

Je suis en train de me pencher sur un poly de topo; j'y vois qu'on appelle "relation" un ensemble (...) et que la "classe d'équivalence d'un élément pour une relation d'équivalence" est aussi un ensemble.

J'avoue déjà avoir du mal à me représenter cela, mais dont acte.

Puis je vois plus loin qu'on appelle "nombre réel" une classe d'équivalence de suite de Cauchy de rationnels pour la relation d'équivalence $(U_n)_{n\in\N}\sim (V_n)_{n\in\N}$ si et seulement si $(U_n - V_n)_{n\in\N}$ tend vers 0.

Là j'avoue ne plus vraiment saisir.

Quelqu'un saurait-il m'aider à "vulgariser" cela s'il vous plait ?

Vous remerciant.

Posté par re : Construction des nombres réels : relation et classe 24-03-25 à 14:20

Bonjour,
Oui, il faut s'y faire : en théorie des ensembles, tout est ensemble ! Même les entiers naturels, par exemple. Et les nombres réels sont des ensembles. Effectivement, on peut les définir comme des classes d'équivalences de suites de Cauchy de nombres rationnels (ces derniers étant eux-mêmes définis comme des ensembles).

Bon, mais si tu prends les nombres rationnels comme primitifs, quel problème vois-tu à considérer qu'un nombre réel est représenté par une suite de rationnels (par exemple, la suite des troncatures de sa représentation décimale comme (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415 ....) ) et que deux suites de rationnels (u_n) et (v_n) représentent le même réel si et seulement si la différence u_n-v_n tend vers 0 ?

Posté par re : Construction des nombres réels : relation et classe 24-03-25 à 15:27

Bonjour GBZM (GaBuZoMeu ?),

Merci de ta réponse.
Depuis l'heure où j'ai posté le présent post, j'ai foirfouiné un peu partout sur le net pour essayer de mieux appréhender le "truc"; je commence à mieux voir je pense ce que l'on cherche à faire. C'est pas encore clair clair, mais je suis moins mal à l'aise.

Posté par re : Construction des nombres réels : relation et classe 26-03-25 à 15:47

Bonjour

Un revenant! Sans indiscrétion, que deviens-tu? Tu te remets au maths, qu'as-tu fait pendant toutes ces années?

Posté par re : Construction des nombres réels : relation et classe 29-04-26 à 09:34

Bonjour Camelia,

Ah ben zut, je prends tout juste connaissance de ton présent message, toutes mes excuses pour ce "vent".

Il y aurait beaucoup de choses à dire depuis l'obtention du DEUG en 2020 : nouveau poste, déménagements, ... Bon, c'est pas trop le lieu pour s'étaler, mais éventuellement tu peux m'envoyer un message par mail, je t'en dirais plus le cas échéabt.

Citation :
Tu te remets au maths

: ce serait beaucoup dire, disons que je plongeais mon groin il y a maintenant un an dans les pages d'un poly de topologie histoire de secouer un peu les connexions endormies des boyaux de la tête.