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continuité
Bonjour , j'ai l'exercice suivant :
Pour tout réel a > 0 , on définit la fonction f(a) : ] - pi/2a , + inf [ -> R par :
fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x , si x appartient ]-pi/2a , 0[
fa(x) = V(V(1+ax^2) - 1) , si x appartient [0, + inf[
a est en indice je précise pour l'écriture et V = racine carrée , le 1+ax^2 est contenu dans la 1ere racine et dans la 2eme racine , le -1 n'est contenu quand dans la seconde racine .
Montrez que fa est continue sur son domaine de définition pour toutes les valeurs de a > 0 .
Ben étant donné que fa est construite à partir de fonctions usuelles continues sur leur ensemble de définition je peux directement dire que fa est continue non ?
merci
Chacune de tes deux formules définit effectivement une fonction continue sur son domaine. Mais il y a un problème au raccordement de ces deux domaines, c'est-à-dire en 0. Pour avoir continuité, il faut :
donnent trois réels finis identiques.
donc je dois calculer les limites en 0- et 0+ des 2 expressions et calculer f(0) pour prouver que la fonction est continue , donc ok , j'ai les 2 DL des expression :
Pour celle que tu as fait , la limite en 0 c'est 0 , pour la limite avec la racine , d'après le DL la limite c'est 1 et pour f(0) on a 0 .
attends je comprends plus on parle de quelle expression là car yen a 2 ...
J'ai étudié la fonction également en 0+. Je trouve sauf erreur que :
En 0- :
En 0+ :
On trouve donc deux limites nulles. Comme fa(0) = 0 (utilisation de la seconde formule), fa est continue.
raymond en 0+ tu as fait le DL de la racine , moi en DL de la racine à l'ordre 3 j'ai 1-ax²/8 + o(x³) donc j'ai du me planter...enfin bon ok , et juste par curiosité , la fonction elle est prolongeable par contituinté en -pi/2a ?
quelqu'un saurait comment je peux faire pour savoir si la fonction est prolongeable par continuité en -pi/2a ?
Salut, je tiens à vous préciser qu'il est inutile de faire un DL à droite de 0 car la fontion est définie sur [0,+oo[ par des fonctions continues d'ou elle est automatiquement continue à droite de 0 !!!
oui tu as raison , et sinon pour ma petite question d'avant tu as une idée ?
Pour le prolongement en -pi/2a, il n'y a aucun probleme ...
Tout est bien défini me semble-t-il ...
Houla !!!! en cherchant un petit peu plus, j'ai vu le problème .... désolé !!!
Ne pas tenir compte de mon précédent post !!!
Merci
je le refait mieux :
Si x->-pi/2a
sin (ax) -> sin (-pi/2)=-1
d'ou 1+sin(ax)->0
ln (1+sin(ax))-> -inf
x ln ( 1 + sin(ax))-> + inf
exp(x ln ( 1 + sin(ax))-1->+inf
et f(x)-> -inf
donc pour moi f n'est pas prolongeable par continuité en -pi/2a
sauf nouvelle erreur !
je suis d'accord avec toi , merci bcp , et regarde prends a = 1/2 comme valeur , tu remarques quoi? 
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