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Continuité

Posté par
Skops 21-02-08 à 14:04

Bonjour,

Soit 4$f:]0;+\infty[\rightarrow\mathbb{R} une fonction croissante telle que 4$g(x)=\frac{f(x)}{x} soit décroissante.

Démontrer que f est continue

Pourriez vous me donner une piste pour le début

Merci

Skops

Posté par
gui_toure : Continuité 21-02-08 à 14:12

salut skops

un copain l'a eu en khôlle, je te retrouve l'exo

Posté par
gui_toure : Continuité 21-02-08 à 14:17

Ayé.

Soit 3$a\in\mathbb{R}^*_+

Traduis le fait que la fonction est croissante : 3$\lim_{x\to a^-} f(x) et 3$\lim_{x\to a^+} f(x) existent, sont finies, et il existe une relation d'ordre...

Ensuite traduis que g est décroissante, 3$\lim_{x\to a^-} \fra{f(x)}{x existe, etc

Oublie pas que tu veux montrer que 3$\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)

Posté par
Skopsre : Continuité 21-02-08 à 14:38

L'existence et l'unicité des limites viennent du théorème des fonctions monotones non ?

Skops

Posté par
Skopsre : Continuité 21-02-08 à 14:39

De la limite monotone pardon

Skops

Posté par
Skopsre : Continuité 21-02-08 à 14:40

L'existence et le fait qu'elles soient finies  *

Skops

Posté par
gui_toure : Continuité 21-02-08 à 14:42

Euh oui surement

Posté par
Skopsre : Continuité 21-02-08 à 14:42

Merci gui_tou

Skops

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité. 21-02-08 à 14:49

Bonjour ;

Si je ne me trompe , f est même localement lipschitzienne.

Posté par
gui_toure : Continuité 21-02-08 à 15:06

Bonjour elhor :)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité. 21-02-08 à 15:24

Bonjour gui_tou

Posté par
Skopsre : Continuité 21-02-08 à 15:33

salut elhor

Pourquoi ?

Skops

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité. 21-02-08 à 16:05

Soit \fbox{x>0} et h suffisamment petit pour que \fbox{x+h>0} alors :

\;*\;pour \fbox{h>0} on a \fbox{f(x+h)\ge f(x)\\\frac{f(x+h)}{x+h}\le\frac{f(x)}{x}} ce qui donne \fbox{0\le f(x+h)-f(x)\le h\frac{f(x)}{x}} ,

\;*\;pour \fbox{h<0} on a \fbox{f(x+h)\le f(x)\\\frac{f(x+h)}{x+h}\ge\frac{f(x)}{x}} ce qui donne \fbox{h\frac{f(x)}{x}\le f(x+h)-f(x)\le0}

d'où \fbox{|f(x+h)-f(x)|\le|h|\frac{f(x)}{x}} (remarquer que f est nécessairement positive).

On conclut que 3$\blue\fbox{\forall x,y\in[a,+\infty[\;,\;a>0} \;,\; 4$\blue\fbox{|f(x)-f(y)|\le g(a).|x-y|} (sauf erreur bien entendu)


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