Bonsoir Charly88,

tout d'abord je doute fort que l'ensemble des [K,U] soit une topologie, je pense qu'il faut définir un ouvert comme une réunion quelconque d'ensembles [K,U].

Ceci mis à part, ta démonstration me semble fausse.

Pour prouver que o est continue, il faut partir d'un ouvert élémentaire [K,U] de CO(X,Z) (comme tu l'as fait implicitement) et considérer tous les couples (f,g) € CO(X,Y)xCO(Y,Z) tels que o(f,g) = gof € [K,U].

Outre le fait qu'il faudrait raisonner par équivalences, il faut trouver une image réciproque de [K,U] qui soit indépendante de f et de g, puisque ce sont eux qu'on cherche!

Tigweg

Ok merci pour ta réponse. Je vais encore chercher

Pas de quoi, bon courage!

Désolé de t'embêter encore tigweg, ou si d'autres sont suceptibles de m'aider.
Je ne vois vraiment pas comment montrer la continuité de mon application.
Si vous aviez des propositions se seraient super sympa.

Je t'aide!

Soit A l'ensemble des couples (f,g) tels que gof(K) U.



Il faut prouver que A est ouvert.



Pour cela, il faut prouver que, (f,g) étant fixé dans A, il existe un ouvert le contenant qui est inclus dans A.




Or la topologie-produit est engendrée par les produits cartésiens d'ouverts élémentaires de C0(X,Y) et de C0(Y,Z).



Il s'agit donc de trouver K1 dans X, U1 dans Y, K2 dans Y et U2 dans Z tels que f soit dans [K1;U1] , que g soit dans [K2;U2] et tels pour tout couple (f1,g1) de l'ouvert élémentaire (de la topologie produit) [K1;U1]x[K2;U2] on ait (f1,g1) dans A.




Dit autrement, il faut trouver U1,U2,K1,K2 tels que f(K1) U1, g(K2) U2 et tels que pour tout f1 telle que f1(K1)U1 et g1(K2)U2 on ait g1 o f1(K) U.


Ok?

Oui c'est bon merci. En fait je pense avoir trouver car X et Y sont localement compact.
X localement compact: soit U c X un ouvert alors pour tout x € U, il existe V ouvert de X tel que
x € V c V(barre) c U.
Or pour tout x € K, go(f(x)) € U => f(x) € g-1(U) ouvert de Y. Comme Y est localement compact, il existe V ouvert de Y tel que f(x) c V c V(barre) c g-1(U). Donc g € [V(barre), U].
De plus on a pour tout x € K, f(x) € V. Donc f € [K,V].
Il reste à verifier que pour tout (f1,g1) € [K,V]x[V(barre),U], g1of1(K) c U.

Or f1 € [K,V], f1(K) c V c V(barre). Or g1 € [V(barre),U] donc g1(f1(K)) c U.
Ca doit être bon comme ça non?

Non V(barre) désigne la fermeture de V et il est compact.
De plus V ne dépend pas de x, du moins pas dans la définition que l'on m'a donné de localement compact.

OK pour V(barre).

Par contre localement compact signifie grosso modo qu'on peut trouver un compact autour de chaque point, donc ce compact dépend bien du x considéré,non?

Pour ma part j'ai comme définition de localement compact:
X est localement compact si pour tout U ouvert de X,
et pour tout x € X, il existe un ouvert V de X tel que x € V € V(barre) c U.
Dans la définition, je ne vois pas où V dépend de x. Je pense que c'est indépendant.

Ca m'arrange pas ce que tu dis mais tu dois avoir raison.
J'ai pu qu'à tout recommencer...

J'ai un peu regardé mais je bloque sur le choix de K1 et U1.

J'ai l'impression que K1 doit être à la fois strictement plus petit et strictement plus gros que K!
Mais ça doit se trouver, je sens que je ne suis pas très loin de la réponse

Bon, je crois que je l'ai, la nuit porte conseil!


Commençons par un petit:


LEMME: "Dans un espace localement compact, pour tout compact Z inclus dans un ouvert J, il existe un ouvert V d'adhérence compacte tel que ".

DEMONSTRATION: par locale compacité, on déniche autour de chaque point de Z un ouvert V_i d'adhérence compacte incluse dans l'ouvert J.Z est recouvert par ces ouverts, et comme Z est compact, un nombre fini n d'entre eux suffit à le recouvrir.
Leur réunion est alors un ouvert V inclus dans J et contenant Z.
L'adhérence de V est alors un fermé;Mais est un fermé contenant V, donc l'adhérence de V est contenue dans la réunion précédente, qui est un compact comme réunion finie de compacts.En tant que fermé d'un compact dans un espace séparé, l'adhérence de V est elle aussi compacte.CQFD.


Soit donc K un compact de X, U un ouvert de Z, et f:X->Y et g:Y->Z deux applications continues telles que g et f étant continues, f(K) est un compact inclus dans l'ouvert .
On peut donc appliquer le lemme précédent à l'espace localement compact Y.

Il existe donc un ouvert d'adhérence compacte dans tel que Posons et



Chechons à présent à construire le compact



On aurait bien envie de choisir (car alors tout marche bien) mais il n'y a aucune raison pour qu'il soit compact.

Par contre, est ouvert et il contient le compact K (puisque ) et X est localement compact, donc toujours d'après le lemme, il existe un ouvert O contenant K et d'adhérence compacte contenue dans Posons



On a alors, pour toute application continue telle que et pour toute application continue telle que




On a donc bien prouvé que pour tout ouvert élémentaire de et tout choix de dans il existe un ouvert de contenant et contenu dans


est donc toujours ouvert, ce qui prouve la continuité de l'application composée



Tigweg

Salut les gars,

Voilà comment je vois les choses (à vérifier quand même ).

J'ai d'abord besoin de prouver un petit résultat préliminaire:

Lemme: Soit K₀ un compact dans un espace topologique localement compact E. Alors il existe un ouvert V et un compact K'₀ tel que K₀VK'₀ E.

Preuve: Tout élément x de K₀ possède un voisinage compact C_x dans E. On a ; on peut extraire un recouvrement fini: . Alors et répondent à la question.

  * * *

Montrons maintenant que est continue en (a,b):

Soit [K,U] un voisinage élémentaire de dans CO(X,Z).

Par continuité de a et de b, b^-1(U) est ouvert et a(K) est compact. De plus a(K)b^-1(U), on peut donc appliquer le lemme à K₀=a(K) et E=b^-1(U):
il existe donc un ouvert V de Y et un compact K' de Y tels que a(K)VK'b^-1(U).

On peut alors facilement voir que [K,V][K',U] est un voisinage élémentaire de (a,b) contenu dans ^-1([K,U]).

Oh ben j'étais en train de taper ma soluce que tu avais déjà posté la tienne !!! Pfff

Salut blang

Incroyable!!

Quasiment la même démo, le même lemme et la même heure!

Ouais j'avoue que c'est troublant. Télépathie quand tu nous tiens

(ou alors on va croire qu'en 18 minutes, j'ai eu le temps de digérer ta solution et de tout reformuler très différemment).

Alors cette fois, quelle est la solution la plus bourrine des deux ?

Eh ben alors blang, on se venge?

Je suis un peu surpris, j'avais l'impression que K ne faisait pas l'affaire.
Mais finalement tu as peut-être raison, du coup on pourrait élaguer la fin de ma démo et de passer de la construction de O.J'étudie ça!

Mais la mienne n'est pas plus bourrine, elle est (peut-être!) inutilement compliquée (pour O!) mais plus détaillée

Tigweg

Heu Tigweg, je blaguais, hein ! Je ne trouve pas ta solution bourrine du tout... (il faut d'ailleurs que je la regarde en détail ).

Moi aussi je blaguais blang!! Décidément on se tire la bourre au jeu du pince sans rire!

Mais plus sérieusement, je crois qu'effectivement on peut se passer de ma construction de O, ça a l'air (avec mes notations) de fonctionner avec [K,U1] et !!

C'est bizarre, je n'arrive plus à me souvenir de la raison pour laquelle j'étais convaincu que ça ne marchait pas!
De plus, pourquoi suppose-t-on X localement compact dans l'énoncé dans ces conditions?

Tigweg

avec [K,U1] et voulais-je dire, pardon!

Bonjour à tous
Tout d'abord merci pour votre aide.
Je voulais juste vous dire que l'on travaille sur une topologie sur C(X,Y) où les ouverts sont les [K,U] avec K compact de X.(C'est la topologie compacte-ouverte).
Or on suppose X localement compact car comme on travaille sur des compacts de X, on est assuré de l'existence de compacts à l'intérieur de X.
Bien sur tout singleton de X, {x}, est un compact pour X mais c'est pas très intéressant de travailler avec seulement des singletons. Donc X est supposé localement compact pour avoir des voisinages compacts pour chaque point de X.

En tout cas merci encore.

Pour ma part, je t'en prie!