Non, vraiment personne pour s'aquiter de cette légere tache qu'est m'aider dans ma galère lol?

Ton exercice de continuité me semble bizarre car j' ai prouvé qu'il n'existe pas de tel fonction.
Supposons qu'il une fonction f tel que f(-f(x)) = x pour tout x de R avec f continue sur R.
Autrement dit f o (-f) = Id. ainsi f-1 = -f.
Ceci prouve aussi que f est bijective.
Or si une fonction est bijective sur R alors elle est soit strictement croissante soit strictement décroissante sur R.

1- supposons que f soit strictement croissante sur R.
On a -f est strictement décroissante. Comme f-1 = - f
Donc f o f-1 est décroissante (la composée d'une fonction croissante avec une fonction décroissante est une fonction décroissante). Ceci est absurde par hypothèse car f o f-1 = Id et Id est une fonction croissante.

2- Supposons que f soit strictement décroissante sur R.
On a -f est strictement croissante. Comme f-1 = - f
Donc f o f-1 est décroissante (la composée d'une fonction décroissante avec une fonction croissante est une fonction décroissante). Ceci est absurde par hypothèse car f o f-1 = Id et Id est une fonction croissante

Cette démonstration me paraît juste et ton exercice curieux…..
Si tu vois une erreur de raisonnement n'hésite pas à m'envoyer une réponse.

je n'ai pas lu la démo, mais il est tout à fait possible que la solution de l'exo, soit qu'il n'existe pas de fonctions comme cela, ca  parait même logique étant donné l'énoncé