Niveau autre

continuité

Posté par crra (invité) 05-12-05 à 18:47

éxusé moi j arrive pa a resoudre cé 2 exo sur la continuité:
1) l'espace des applications continues de[0,1] dans étant muni de la norme de la convergence uniforme,étudier la continuité de f->g o f pour g continue de dans .

2)Déterminer les applications continues de GL_{[/sub]n() dans telles que:

(A,B)GL[sub]}n f(AB)=f(A)+f(B)
merci.

Posté par peej (invité)re : continuité 05-12-05 à 20:05

Bonsoir crra

1)

Soit $\epsilon>0$ .

Donc $\exists \eta, |x-y|<\eta\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\epsilon$ (continuité de g)

Or si $||f_1-f_2||<\eta$ , on a pour tout x,

$|f_1(x)-f_2(x)|<\eta$ et donc $|g\circ f_1(x)-g\circ f_2(x)|<\epsilon$

En utilisant le fait que gof étant continue atteint son max dans [0,1], tu devrais pouvoir conclure.

Sauf erreurs !!

a plus

Posté par peej (invité)re : continuité 05-12-05 à 20:07

euh la norme de la convergence uniforme c'est bien celle la ?? :
$||f||=sup{|f(x)|}$

Posté par re : continuité 06-12-05 à 10:18

Bonjour;
Soit $\epsilon>0$ .

Donc $\exists\eta,|x-y|<\eta\Longrightarrow|f(x)-f(y)|<\eta$ (continuité de g)

peej,ce que tu as écrit ci dessus ne relève pas de la seule continuité de g mais plutot de sa continuité uniforme ce qui n'est pas dans l'hypothése.

Posté par peej (invité)re : continuité 06-12-05 à 16:29

Oulah effectivement l'énorme bourde

Merci Elhor de l'avoir corrigée

Posté par re : continuité 07-12-05 à 00:33

Je crois qu'on peut arranger ça:
Notons $E$ l'espace des applications continues de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ (muni de la norme de la convergence uniforme) et soit $f\in E$ et $(f_n)_{n\ge0}$ une suite d'éléments de $E$ convergeant uniformément vers $f$ c'est à dire que $\fbox{\lim_{n}\hspace{5}||f_n-f||_{\infty}=0}$ je vais montrer que $\fbox{\lim_{n}\hspace{5}||gof_n-gof||_{\infty}=0}$ ce qui assurera la continuité de l'application $\fbox{E\to E\\f\to gof}$
pour cela commençons par remarquer qu'il existe un rang $\fbox{N_1}$ tel que pour tout $n\ge N_1$ on ait $||f_n-f||_{\infty}\le1$ et donc que pour tout $n\ge N_1$ on ait $||f_n||_{\infty}\le1+||f||_{\infty}$ et on peut donc écrire que:
$\fbox{(\forall n\ge N_1)(\forall x\in[0,1])\\f_n(x),f(x)\in[-1-||f||_{\infty},1+||f||_{\infty}]=K}$ $K$ étant compact (fermé borné de $\mathbb{R}$ ) on a d'aprés le théorème de Heine que g est uniformément continue sur $K$ .
soit alors $\fbox{\epsilon>0\\\eta>0}$ tels que $\fbox{(\forall x',y'\in K)\\|x'-y'|\le\eta\Longrightarrow|g(x')-g(y')|\le\epsilon}$
comme $||f_n-f||_{\infty}\to0$ on a l'existence d'un rang $\fbox{N\hspace{5}(\ge\ N_1)}$ tel que pour tout $n\ge N$ on ait $||f_n-f||_{\infty}\le min(1,\eta)$ et on voit alors que $\fbox{(\forall n\ge N)(\forall x\in[0,1])\\et\{{f_n(x),f(x)\in K\\|f_n(x)-f(x)|\le\eta}$ et donc que $\fbox{(\forall n\ge N)(\forall x\in[0,1])\\|g(f_n(x))-g(f(x))|\le\epsilon}$ ou encore $\fbox{(\forall n\ge N)\\||gof_n-gof||_{\infty}\le\epsilon}$ .
Sauf erreurs...

Posté par re : continuité 08-12-05 à 03:08

Pour la question 2/ je crois qu'il faut préciser la topologie sur $GL_n(\mathbb{C})$ ...
Est ce la topologie induite par celle de $M_n(\mathbb{C})$ ?

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

topologie en post-bac
7 fiches de mathématiques sur "topologie" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

continuité

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths