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continuité

Posté par rust (invité) 22-02-06 à 21:03

bonsoir,

f est croissante et définie sur R+* et g(x)=f(x)/x décroissante.
Démontrer que f est continue.

Je ne vois pas comment faire de lien entre la croissance et la continuité.
Merci de voter aide

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 21:05

Bonsoir rust

Que sais-tu d'une fonction monotone ? (pense à un théorème du cours)

Kaiser

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 21:13

euh... tt ce que je trouve c'est "une fonction est dite monotone ssi elle est croissante sur I",
mais je ne vois rien d'autre

Posté par
ottore : continuité 22-02-06 à 21:14

Ah bon, une fonction décroissante n'est pas monotone?

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 21:15

"...croissante ou décroissante sur I" (je pensais en particulier a f ici)

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 21:15

Non, d'ailleurs c'est faux (elle peut être décroissante).

Je pensais plutôt au théorème qui dit que toute fonction monotone admet une limite à droite et une limite à gauche de tout point (la limite étant fini ou infini).


Kaiser

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 21:24

ok, donc 3$\lim_{x\to a-} f(x) \le f(a) \le \lim_{x\to a+} f(x) , a\inR+.

donc ca veut dire que 3$\lim_{x\to a} f(x)=f(a) ? (ca doit pas etre ca, sinon g ne sert a rien)

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 21:26

Tu en peux pas encore conclure mais c'est un début.
À présent, fait la même chose avec g.

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 21:27

"Tu ne peux pas ..."

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 21:45

donc 3$\lim_{x\to a-} g(x) \ge g(a) \ge \lim_{x\to a+} g(x) , a\inR+., puisque g est décroissante, c'est ca ?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 21:50

c'est ça !
Maintenant, tu peux exprimer ces limites en fonction de celles de f à gauche et à droite de a (et en fonction de a).

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 21:52

donc 3$\lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x} \ge \frac{f(a)}{a} \ge \lim_{x\to a+} \frac{f(x)}{x}

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 21:54

Plus précisément, à droite et à gauche, ça fait quoi (vu que f admet des limites à gauche et à droite de a) ?

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:01

je crois que j'ai compris :

3$\lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x} \le \frac{f(a)}{a} et
3$\frac{f(a)}{a} \le \lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x}


donc 3$\lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x} =\frac{f(a)}{a}
Pareil en a+.
Donc g est continue, donc f aussi.
C'est ca ?

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:03

ah non, j'ai ete un peu vite, j'ai divis par x d'un coté et par a de l'autre dans l'inagalié avec f

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 22:08

C'est bien ça !
Tu pouvais aussi dire que \large{\lim_{x\to a^{-}}\frac{f(x)}{x}=\frac{\lim_{x\to a^{-}}f(x)}{a}} (pareil à droite) et grâce à ça tu obtiens la double inégalité du début mais dans l'autre sens et tu peux donc conclure.
Kaiser

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:11

je ne comprend pas, puisque en fait j'ai

3$\lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x} \le \frac{f(a)}{x} et non 3$\lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x} \le \frac{f(a)}{a}

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 22:16

ça par contre, tu n'as pas le droit de le faire.
En effet, l'inégalité de gauche n'a pas de sens (car sinon x est censé tendre vers x tout en étant constant ce qui est un peu bizarre).
Cependant, as-tu compris ce que je disais dans mon dernier message ?

Kaiser

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:21

je suis un peu perdu; j'ai :

3$\lim_{x\to a-} f(x) \le f(a) \le \lim_{x\to a+} f(x)

Donc 3$\frac{\lim_{x\to a-} f(x)}{a} \le \frac{f(a)}{a} \le \frac{\lim_{x\to a+} f(x)}{a}

3$\frac{\lim_{x\to a-} f(x)}{x} \ge \frac{f(a)}{a} \le \frac{\lim_{x\to a+} f(x)}{x}

c'est bien ca ?

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:22

pardon, je voulais dire

3$\lim_{x\to a-} f(x) \le f(a) \le \lim_{x\to a+} f(x)

Donc 3$\frac{\lim_{x\to a-} f(x)}{a} \le \frac{f(a)}{a} \le \frac{\lim_{x\to a+} f(x)}{a}

3$\lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x} \ge \frac{f(a)}{a} \le \lim_{x\to a+}\frac{ f(x)}{x}

c'est bien ca ?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 22:25

Dans la dernière double inégalité, je suppose que c'est un faute de frappe et que tu as voulu écrire "inférieur" au lieu de "supérieur".
Par contre ce qui ne va pas, c'est que tu n'as pas le droit de fair sortir le x.
Mais comme tu sais que f admet des limites, alors on a l'égalité que j'ai écrite dans mon message de 22h08.

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:31

dans la dernière c'est une faut, mais je voulais ecrire "superieur" au lieu de "inferieur" (puisque c'est l'inégalite avec g)
pour le x, en effet j'ai aussi mal ecrit, je l'ai rectifier dans le message tout de suite après.

Donc j'ai
3$\frac{\lim_{x\to a-} f(x)}{a} \le \frac{f(a)}{a} \le \lim_{x\to a-} \frac{f(x)}{x}   ?

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:32

ah non, je me suis encore melangé, je corrige

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 22:34

arcg, j'arrive pas je melange tt

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 22:36

Attends un peu : je vais récapituler.

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 22:49

Tout d'abord, grâce à la croissance de f, on a obtenu la double inégalité suivante :

\large{\lim_{x\to a^{-}}f(x)\leq f(a)\leq \lim_{x\to a^{+}}f(x)}.


Ensuite, grâce à la décroissance de g, on a obtenu la double inégalité suivante :

\large{\lim_{x\to a^{-}}\frac{f(x)}{x}\geq \frac{f(a)}{a}\geq \lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{x}}

Comme f admet une limite à gauche et une limite à droite, on peut écrire que :

\large{\lim_{x\to a^{-}}\frac{f(x)}{x}=\frac{\lim_{x\to a^{-}}f(x)}{\lim_{x\to a^{-}}x}=\frac{\lim_{x\to a^{-}}f(x)}{a}}

et

\large{\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{x}=\frac{\lim_{x\to a^{+}}f(x)}{\lim_{x\to a^{+}}x}=\frac{\lim_{x\to a^{+}}f(x)}{a}}


De là, on déduit la double inégalité :

\large{\frac{\lim_{x\to a^{-}}f(x)}{a}\geq \frac{f(a)}{a} \geq \frac{\lim_{x\to a^{+}}f(x)}{a}}

En multipliant par a (qui est strictement positif), on a la double inégalité :

\large{\lim_{x\to a^{-}}f(x)\geq f(a)\geq \lim_{x\to a^{+}}f(x)}

Avec la première égalité que j'ai écrite au début de ce message, on déduit que cette double inégalité est en fait une égalité et donc que f est continue en a.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 22:50

"Avec la première double inégalité ..."

Posté par rust (invité)re : continuité 22-02-06 à 23:06

ok, merci de ton aide

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité 22-02-06 à 23:07

Mais je t'en prie !


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