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Niveau maths sup
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continuité

Posté par
Deb
12-01-18 à 21:18

Bonsoir à tous !
J'ai une question assez importante étant donné qu'elle tombera à mon ds de demain matin ! Je dois étudier la continuité (et les prolongements éventuels)  de la fonction f(x)= \frac{1-\sqrt{2}cos x}{1-\sqrt{2}sin x} puis tracer sa courbe.

Pourriez-vous me donner des pistes de résolution svp ? Parce que je me doute qu'il faut calculer des limites etc mais je vois pas vraiment comment commencer.

Merci d'avance !

Posté par
saliout123
re : continuité 12-01-18 à 21:27

Bonsoir pour les limites en encadrez f(x).
-1cosx1 de même que sinx.

Posté par
boninmi
re : continuité 12-01-18 à 21:28

Bonsoir,

Déjà, limite ton étude au moyen de la périodicité. Les symétries éventuelles sont moins immédiates.
Commence par regarder quand le dénominateur s'annule. Il y a une valeur qui annule numérateur et dénominateur. Un prolongement est à examiner en ce point.

Posté par
boninmi
re : continuité 12-01-18 à 21:30

saliout123 @ 12-01-2018 à 21:27

pour les limites en

Sans objet, la fonction est périodique.

Posté par
larrech
re : continuité 12-01-18 à 21:51

Bonsoir,

En mettant \sqrt{2} en facteur on obtient f(x)=\dfrac{cos(\frac{\pi}{4})-cos(x)}{sin(\frac{\pi}{4})-sin(x)} et on transforme numérateur et dénominateur en produit de sinus et cosinus.

Posté par
larrech
re : continuité 12-01-18 à 22:00

en produits...

Posté par
Deb
re : continuité 12-01-18 à 22:26

alors tout d'abord merci pour vos reponses
donc on obtient comme larrech le dit \frac{cos (\pi/4) -cos (x)}{sin (\pi /4) - sin (x)} qui s'annule en /4

Posté par
Deb
re : continuité 12-01-18 à 22:32

et je ne sais pas vrament si ca aide mais \frac{cos (\pi/4) -cos (x)}{sin (\pi /4) - sin (x)} = tan-1(/4) - tan-1(x)

Posté par
larrech
re : continuité 12-01-18 à 22:39

Non, cela s'annule en -\dfrac{\pi}{4} modulo 2\pi

il faut utiliser la formule

cosp-cosq=-2sin(\frac{p+q}{2}) sin(\frac{p-q}{2})  et sa soeur jumelle sinp-sinq=\dots pour mettre  f(x) sous une forme bien plus simple.

Posté par
larrech
re : continuité 12-01-18 à 22:43

Citation :
et je ne sais pas vrament si ca aide mais \frac{cos (\pi/4) -cos (x)}{sin (\pi /4) - sin (x)} = tan-1(/4) - tan-1(x)


Ah non, ça c'est faux .

Posté par
Deb
re : continuité 12-01-18 à 23:04

ok alors on obtient \frac{-2sin (\pi/4 + x)/2) sin((\pi/4 - x)/2)}{-2cos (\pi/4 + x)/2)cos ((\pi/4 - x)/2)}
désolé je ne sais pas pourquoi je fais un gros blocage

Posté par
larrech
re : continuité 12-01-18 à 23:14

Attention , revoir ces formules,  je corrige

f(x)=\frac{-2sin (\pi/4 + x)/2) sin((\pi/4 - x)/2)}{{\red{+}}2cos (\pi/4 + x)/2){\red{sin}} ((\pi/4 - x)/2)} = -tan\left(\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{x}{2}\right)

ce qui est quand même plus sympathique.

Posté par
ThierryPoma
re : continuité 12-01-18 à 23:20

Bonsoir,

Pour x\ne\frac{\pi}{4}, l"on a

f(x)=\dfrac{\cos(\frac{\pi}{4})-\cos(x)}{\sin(\frac{\pi}{4})-\sin(x)}=\dfrac{\cos(\frac{\pi}{4})-\cos(x)}{\frac{\pi}{4}-x}\times\dfrac{\frac{\pi}{4}-x}{\sin(\frac{\pi}{4})-\sin(x)}=\dfrac{\cos(\frac{\pi}{4})-\cos(x)}{\frac{\pi}{4}-x}\times\dfrac{1}{\dfrac{\sin(\frac{\pi}{4})-\sin(x)}{\frac{\pi}{4}-x}}

Posté par
Deb
re : continuité 12-01-18 à 23:45

mais ce que larresh m'a dit est bon non ?
ensuite tan est défini sur ]-/2;/2[ et on calcule les limites ?

Posté par
larrech
re : continuité 12-01-18 à 23:49

tan(u), oui, mais avec ici u=\dfrac {\pi}{8}+\dfrac{x}{2}

Posté par
Deb
re : continuité 13-01-18 à 00:06

ah oui et donc ca s'annule aussi pour x=-/4

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