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Continuité
Bonsoir à tous ! Je dois me familiariser avec les quantificateurs dans un énoncé et j'ai eu l'exercice suivant :
Parmi les deux énoncés suivants, y a-t-il un énoncé équivalent à "f continue en x" ?
1. ∀e > 0, ∃δ > 0, ∀y : |f(x) − f(y)| < δ ⇒ |x − y| <e.
2. ∀e > 0, ∃δ > 0, ∀y : |f(x) − f(y)| < e ⇒ |x − y| < δ.
Je sens que le premier énoncé est juste car je n'y vois pas de contre-exemple apparent mais je ne trouve pas de piste/indice pour le montrer. J'ai songé à montré que "si on a une suite f(an) qui tend vers un certain f(L) alors a_n tend vers L" alors cela équivaut à la continuité.
J'ai trouvé un contre-exemple pour la 2e, en prenant la fonction partie entière, qui n'est pas continue en 2, on a ∀e > 0, avec δ = e+2, ∀y : |2 − f(y)| < e ⇒ |2 − y| < δ. L'énoncé est donc vérifié mais la fonction n'est pas continue en 2.
Si quelqu'un a un indice à me donner pour la 1ere et pourrait confirmer ce que j'ai fais pour la 2e, je lui suis très reconnaissant. Merci à vous.
salut
Je sens que le premier énoncé est juste car je n'y vois pas de contre-exemple apparent mais je ne trouve pas de piste/indice pour le montrer. peut-être lire la définition d'une fonction continue et sa traduction en terme de "epsilon" ...
J'ai songé à montré que "si on a une suite f(an) qui tend vers un certain f(L) alors a_n tend vers L" alors cela équivaut à la continuité. ceci est faux
f(x) = (x - 1)(x - 2)
ce n'est pas parce que f(x) tend f(2) que x tend tend vers 2 ...
Bonjour,
Effectivement c'est le 1) qui est le bon, mais c'est en réalité la définition "propre" de la continuité et tu n'as pas à le démontrer.
Bonsoir à tous,
je ne fais que passer car carpediem et LeHibou s'occupent de toi ; peut-être peux-tu nous dire quelle est "ta" définition de continuité ?
Bonne soirée.
Ma définition de continuité est la suivante :
Soit f une fonction définie sur I, et a appartenant à I.
f est continue en x0 signifie que ∀ε > 0, ∃ α > 0 tq ∀x ∈ I, |x − x0| < α ⇒ |f(x) − f (x0)|< ε .
Bonjour,
Effectivement c'est le 1) qui est le bon, mais c'est en réalité la définition "propre" de la continuité et tu n'as pas à le démontrer.
En effet je trouve ça logique que "si les antécédents sont très proches implique les images sont très proches" équivaut à "si les images sont très proches implique les antécédents aussi". (Je dis peut être du grand n'importe quoi je trouve ça similaire à une relation d'équivalence si aRb alors bRa avec R : être proche).
En tout cas je me demande si je pourrais le prouver sur le papier de manière formelle ?
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