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Niveau Maths sup
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continuité

Posté par
Manganox
11-12-23 à 22:03

bonjour pouvez vous maider pour cet execice svp:
  soit f et g deux fonction definie de R dans R avec g periodique et f de limite nulle en plus linfini et f+g fonction croissante
montrer que g est constante

Posté par
MattZolotarev
re : continuité 11-12-23 à 22:50

Bonjour :
On peut commencer par montrer que f+g converge. Pour ceci, on sait que cette fonction est croissante sur \mathbb{R}, pourrait-on montrer qu'elle est majorée ?

En déduire que g(x) converge lorsque x\longrightarrow +\infty , puis tu auras assez facilement ta conclusion.

Dans ces questions que je te pose, il sera utile de bien réécrire à l'aide de quantificateurs les propriétés des fonctions que tu manipules aussi.

Posté par
MattZolotarev
re : continuité 11-12-23 à 23:35

(Pardon, quand je dis "montrer que f+g converge, je veux dire implicitement en +\infty, comme tu l'auras sans doute compris. Et pour ce qui est caractère majorée, il s'agit au moins au voisinage de +\infty...)

Posté par
LeHibou
re : continuité 12-12-23 à 11:30

Bonjour,

Je commencerais par ignorer f et montrer par l'absurde que :
"g périodique et  croissante implique  g constante".
Ensuite je réintroduirais f avec sa limite nulle en + et je montrerais que le résultat reste vrai.

Posté par
Manganox
re : continuité 12-12-23 à 16:29

oh oui ok je vois merci beaucoup!!

Posté par
Ulmiere
re : continuité 12-12-23 à 18:58

Soit T la période (finie et positive) de g et soit x un réel. Soit n>0 un entier naturel.
f+g est croissante et x \leqslant x + nT donc ???

Après avoir complété les ???, on fait tendre n vers l'infini pour prouver que f est nulle.
Donc g est croissante. Donc g est constante.



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