Bonjour,
L'énoncé est-il bien recopié ?
Ce ne serait pas plutôt "Montrer que f(x)/x → + en +." ?

salut

on peut avoir en tête les fonction racine carrée et ln pour visualiser les choses ...

l'idée est de remarquer que

puis travailler avec des   \epsilon ...

bonjour,
merci pour la correction de l'énoncé et pour vos indications. Cependant, je n'arrive pas à visualiser les choses avec ln et racine carrée... De plus, l'expression  f(x + n) - f(x) = \sum_0^{n - 1} [f(x + k + 1) - f(x + k)] doit elle me faire penser à Césaro?
Merci.

si f(x + 1) - f(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini alors :

pour tout e > 0  il existe un réel a tel que : si x > a alors f(x + 1) - f(x) < e

ensuite pour tout x > a il existe un entier n tel que

ensuite sans perte de généralité on peut très bien considérer que a est entier (à justifier)

à toi de finir avec mon aide précédente ... sans oublier qu'on cherche la limite de f(x)/x ...

Vu le titre, tu as aussi oublié de mentionner que f est supposée continue, ce qui est très important, puisque c'est ce qui permet de considérer (th. de Heine) le sup et l'inf sur les intervalles [n, n+1[ pour tout n (et ce sont alors des max et min) !

cela fait 1h que je suis sur l'exercice et je ne vois pas le lien entre les 2 indications.. le th de heine nous indique seulement que sur [n, n+ 1[, f est uniformémement continue, et eventuellement majorée par sa borne sup, mais je ne vois pas comment cela induit la limite de f(x)/x. j'ai même essayé de minorer la valeur absolue de f(x)/x par quelque chose qui tend vers 0, mais je n'ai pas réussi..

suite de 15h25 dont on déduit (en supposant a entier et à toi d'ajuster s'il ne l'était pas) :

  avec p = n - a

donc

or (à justifier)

Je ne veux pas interférer avec les explications de carpediem qui t'amène vers une autre façon de répondre à la question que la mienne

de rien ... mais il faut finir et rédiger tout cela convenablement avec les justifications adéquates.

Je te le donne parce que c'est un peu difficile à ton niveau de trouver ça tout seul, mais je t'encourage à
1) essayer de refaire ça tout seul sans regarder la correction qui suit quand tu l'auras digérée
2) persévérer avec ce que suggère carpediem qui est intéressant aussi

Citation :
C'est un peu similaire. Tu appelles .
La caractérisation de la borne sup nous dit que pour tout epsilon et pour tout n, il existe tel que  .
On a donc .
Et de même M_n est un majorant de f(x_{n+1}-1) donc .
Par définition, les tendent vers l'infini, et par encadrement, est alors arbitrairement petit (et tend vers 0).
D'après Cesaro, tend vers 0, donc aussi.

Mais ce qui est rigolo, c'est que pour tout , ...

Petite coquille, je voulais dire

Merci pour votre aide!
Bonne fin de soiréé.