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Niveau Prepa (autre)
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continuité

Posté par
taupin2005
17-12-23 à 13:33

Bonjour,
J'aimerai bien avoir quelques indications sur cet exercice (provenant de mon TD, et classé difficile):

Soit f : R+ R+ croissante telle que
f(x + 1) - f(x) 0 en +.  
Montrer que f(x)/x + en 0.

Pour l'instant, j'ai utilisé le fait que f(x+1) - f(x) soit inférieur ou égal à e à partir d'un certain réel. Ce qui m'a permis d'établir une relation de récurrence entre f(x) et f(E(x) -x). Cependant, je ne sais pas si elle est utile, donc je suis bloqué..

Merci d'avance.

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : continuité 17-12-23 à 13:59

Bonjour,
L'énoncé est-il bien recopié ?
Ce ne serait pas plutôt "Montrer que f(x)/x → + en +." ?

Posté par
carpediem
re : continuité 17-12-23 à 14:19

salut

on peut avoir en tête les fonction racine carrée et ln pour visualiser les choses ...

l'idée est de remarquer que f(x + n) - f(x) = \sum_0^{n - 1} [f(x + k + 1) - f(x + k)]

puis travailler avec des   \epsilon ...

Posté par
taupin2005
re : continuité 17-12-23 à 14:55

bonjour,
merci pour la correction de l'énoncé et pour vos indications. Cependant, je n'arrive pas à visualiser les choses avec ln et racine carrée... De plus, l'expression  f(x + n) - f(x) = \sum_0^{n - 1} [f(x + k + 1) - f(x + k)] doit elle me faire penser à Césaro?
Merci.

Posté par
carpediem
re : continuité 17-12-23 à 15:25

si f(x + 1) - f(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini alors :

pour tout e > 0  il existe un réel a tel que : si x > a alors f(x + 1) - f(x) < e

ensuite pour tout x > a il existe un entier n tel que n \le x < n + 1

ensuite sans perte de généralité on peut très bien considérer que a est entier (à justifier)

à toi de finir avec mon aide précédente ... sans oublier qu'on cherche la limite de f(x)/x ...

Posté par
Ulmiere
re : continuité 17-12-23 à 15:36

Vu le titre, tu as aussi oublié de mentionner que f est supposée continue, ce qui est très important, puisque c'est ce qui permet de considérer (th. de Heine) le sup et l'inf sur les intervalles [n, n+1[ pour tout n (et ce sont alors des max et min) !

Posté par
taupin2005
re : continuité 17-12-23 à 16:40

cela fait 1h que je suis sur l'exercice et je ne vois pas le lien entre les 2 indications.. le th de heine nous indique seulement que sur [n, n+ 1[, f est uniformémement continue, et eventuellement majorée par sa borne sup, mais je ne vois pas comment cela induit la limite de f(x)/x. j'ai même essayé de minorer la valeur absolue de f(x)/x par quelque chose qui tend vers 0, mais je n'ai pas réussi..

Posté par
carpediem
re : continuité 17-12-23 à 18:08

suite de 15h25 dont on déduit (en supposant a entier et à toi d'ajuster s'il ne l'était pas) :

f(x) - f(a) = f(x) - f(n) + f(n) - f(a) = f(x) - f(n) + \sum_0^{p - 1} [f(a + k + 1) - f(a + k)]   avec p = n - a

donc \dfrac {f(x)} x \le \dfrac {p e} x + \dfrac {f(x) - f(n)} x

or f(x) - f(n) \le e (à justifier)

Posté par
carpediem
re : continuité 17-12-23 à 18:12

carpediem @ 17-12-2023 à 18:08

suite de 15h25 dont on déduit (en supposant a entier et à toi d'ajuster s'il ne l'était pas) :

f(x) - f(a) = f(x) - f(n) + f(n) - f(a) = f(x) - f(n) + \sum_0^{p - 1} [f(a + k + 1) - f(a + k)]   avec p = n - a

donc \dfrac {f(x)} x \le {\red \dfrac {f(a)} x } + \dfrac {p e} x + \dfrac {f(x) - f(n)} x

or f(x) - f(n) \le e (à justifier)

Posté par
Ulmiere
re : continuité 17-12-23 à 18:22

Je ne veux pas interférer avec les explications de carpediem qui t'amène vers une autre façon de répondre à la question que la mienne

Posté par
taupin2005
re : continuité 17-12-23 à 18:40

Ulmiere @ 17-12-2023 à 18:22

Je ne veux pas interférer avec les explications de carpediem qui t'amène vers une autre façon de répondre à la question que la mienne


Au contraire n'hesitez pas, ça me donnera peut etre une idée pour un exercice du genre

Par ailleurs, merci Carpediem!

Posté par
carpediem
re : continuité 17-12-23 à 19:11

de rien ... mais il faut finir et rédiger tout cela convenablement avec les justifications adéquates.

Posté par
Ulmiere
re : continuité 17-12-23 à 19:14

Je te le donne parce que c'est un peu difficile à ton niveau de trouver ça tout seul, mais je t'encourage à
1) essayer de refaire ça tout seul sans regarder la correction qui suit quand tu l'auras digérée
2) persévérer avec ce que suggère carpediem qui est intéressant aussi

Citation :
C'est un peu similaire. Tu appelles M_n = \sup\limits_{[n,n+1[} f.
La caractérisation de la borne sup nous dit que pour tout epsilon et pour tout n, il existe x_n\in[n, n+1[ tel que  M_n - f(x_n) < \varepsilon.
On a donc f(x_n+1)-f(x_n) \leqslant \varepsilon + (M_{n+1} - M_n).
Et de même M_n est un majorant de f(x_{n+1}-1) donc M_{n+1}-M_n \leqslant  f(x_{n+1}) - f(x_{n+1}-1) + \varepsilon.
Par définition, les x_n tendent vers l'infini, et par encadrement, M_{n+1}-M_n est alors arbitrairement petit (et tend vers 0).
D'après Cesaro, \dfrac1n\sum_{k=0}^{n-1} (M_{k+1}-M_k) = \dfrac{M_n-M_0}{n} tend vers 0, donc M_n/n \to 0 aussi.

Mais ce qui est rigolo, c'est que pour tout x\in [n, n+1[, f(x) \leqslant M_n/n ...

Posté par
Ulmiere
re : continuité 17-12-23 à 19:17

Petite coquille, je voulais dire f(x)/x \leqslant M_n/n

Posté par
taupin2005
re : continuité 17-12-23 à 20:08

Merci pour votre aide!
Bonne fin de soiréé.



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