Niveau Maths sup

continuité

Posté par
taupin2005 17-12-23 à 20:14

Bonsoir (ou re-bonsoir pour certains),

Pouvez-vous m'aider sur mon exercice de TD (niveau très difficile) concernant la continuit s'il vous plait :

Soit f : R+ → R une fonction continue.
Montrer que φ: x → sup (f) sur [0,x] est continue.

J'ai essayé en vain d'utiliser la caractérisation séquentielle de sup, et utiliser le fait que phi soit (potentiellement) croissante (donc admet des limites a droite et a gauche en tout point).

Posté par re : continuité 17-12-23 à 20:45

je suppose dans votre énoncé on a sup(f(x)) et pas sup(f)?

Posté par re : continuité 17-12-23 à 20:50

salut

déjà remarquer que sur tout intervalle compact le sup d'une fonction continue est un max !! donc est l'image d'un élément ...

je note s la fonction plus simple qu'une lettre grecque ...

donc s(x) = sup (f) sur [0, x]

soit x et y deux réels et posons s(x) = m et s(y) = n

l'objectif est de montrer que si y --> x alors s(y) = n --> s(x) = m

or il existe des réels a et b tels que s(x) = f(a) et s(y) = f(b)

à toi de réfléchir à la suite et je te conseille de faire un dessin représentant la situation ...

Posté par re : continuité 17-12-23 à 22:54

Bonsoir

$\varphi$ est croissante ...

Posté par re : continuité 19-12-23 à 19:24

$\boxed{1}$ Continuité en 0 :

On a clairement $\boxed{\varphi(0)=f(0)}$ .

Soit $\Large\varepsilon$ un réel strictement positif arbitraire,

la continuité de $f$ en $0$ donne l'existence d'un réel $\Large\eta>0$

tel que $\boxed{\forall x\in[0,\eta]~,~|f(x)-f(0)|<\varepsilon}$

et comme pour tout réel $x\in[0,\eta]$ , on a $\displaystyle\varphi(x)=\sup_{[0,x]}f=f(y_x)$ pour un certain $y_x\in[0,x]$

on voit que $\boxed{\forall x\in[0,\eta]~,~|\varphi(x)-\varphi(0)|<\varepsilon}$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Posté par re : continuité 19-12-23 à 21:35

$\boxed{2}$ Continuité en $x_0>0$ :

La croissance de $\varphi$ _{(théorème de la limite monotone)} donne l'existence des deux limites

$\boxed{\varphi(x_0^-)=\lim_{x\to x_0^-}\varphi(x)=\sup_{x<x_0}\varphi(x)}$ et $\boxed{\varphi(x_0^+)=\lim_{x\to x_0^+}\varphi(x)=\inf_{x>x_0}\varphi(x)}$

avec l'encadrement $\boxed{\varphi(x_0^-)\leqslant \varphi(x_0) \leqslant\varphi(x_0^+)}$ .

Raisonnons par l'absurde en supposant $\boxed{\varphi(x_0^-)<\varphi(x_0)}$ ou $\boxed{\varphi(x_0)<\varphi(x_0^+)}$ .

$\bullet$ Dans le premier cas on a pour $n\in\mathbb N$ assez grand, $\boxed{\varphi(x_0)=\sup_{[0,x_0]}f=max\left(\sup_{[0,x_0-\frac{1}{n}]}f,\sup_{[x_0-\frac{1}{n},x_0]}f\right)}$

c'est à dire $\boxed{\varphi(x_0)=max\left(\varphi(x_0-\frac{1}{n}),\sup_{[x_0-\frac{1}{n},x_0]}f\right)}$

et comme $\boxed{\varphi(x_0-\frac{1}{n})\leqslant\varphi(x_0^-)<\varphi(x_0)}$ on voit que pour $n$ assez grand $\boxed{\varphi(x_0)=\sup_{[x_0-\frac{1}{n},x_0]}f}$

et comme ce dernier sup est atteint en un certain $x_n\in[x_0-\frac{1}{n},x_0]$ ,

on voit en faisant tendre $n$ vers l'infini (et par continuité de $f$ en $x_0$ ) que $\boxed{\varphi(x_0)=f(x_0)}$

ce qui est absurde vu que $\boxed{f(x_0)=\lim_{n\to+\infty}f(x_0-\frac{1}{n})\leqslant \varphi(x_0-\frac{1}{n})\leqslant\varphi(x_0^-)<\varphi(x_0)}$ .

$\bullet$ Dans le second cas on a pour tout $n\in\mathbb N^*$ , $\boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})=\sup_{[0,x_0+\frac{1}{n}]}f=max\left(\sup_{[0,x_0]}f,\sup_{[x_0,x_0+\frac{1}{n}]}f\right)}$

c'est à dire $\boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})=max\left(\varphi(x_0),\sup_{[x_0,x_0+\frac{1}{n}]}f\right)}$

et comme $\boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})\geqslant\varphi(x_0^+)>\varphi(x_0)}$ on voit que pour tout $n\in\mathbb N^*$ , $\boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})=\sup_{[x_0,x_0+\frac{1}{n}]}f}$

ce dernier sup étant atteint en un certain $x_n\in[x_0,x_0+\frac{1}{n}]$ ,

on voit en faisant tendre $n$ vers l'infini (et par continuité de $f$ en $x_0$ ) que $\boxed{\varphi(x_0^+)=f(x_0)}$

ce qui est absurde vu que $\boxed{f(x_0)\leqslant\varphi(x_0)<\varphi(x_0^+)}$ _{sauf erreur de ma part bien entendu}

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