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Niveau Maths sup
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continuité

Posté par
taupin2005
17-12-23 à 20:14

Bonsoir (ou re-bonsoir pour certains),

Pouvez-vous m'aider sur mon exercice de TD (niveau très difficile) concernant la continuit s'il vous plait :

Soit f : R+ → R une fonction continue.
Montrer que φ: x → sup (f) sur [0,x] est continue.

J'ai essayé en vain d'utiliser la caractérisation séquentielle de sup, et utiliser le fait que phi soit (potentiellement) croissante (donc admet des limites a droite et a gauche en tout point).

Posté par
phyelec78
re : continuité 17-12-23 à 20:45

je suppose dans votre énoncé on a sup(f(x)) et pas sup(f)?

Posté par
carpediem
re : continuité 17-12-23 à 20:50

salut

déjà remarquer que sur tout intervalle compact le sup d'une fonction continue est un max !! donc est l'image d'un élément ...

je note s la fonction plus simple qu'une lettre grecque ...

donc s(x) = sup (f) sur [0, x]

soit x et y deux réels et posons s(x) = m et s(y) = n

l'objectif est de montrer que si y --> x alors s(y) = n --> s(x) = m

or il existe des réels a et b tels que s(x) = f(a) et s(y) = f(b)

à toi de réfléchir à la suite et je te conseille de faire un dessin représentant la situation ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : continuité 17-12-23 à 22:54

Bonsoir

\varphi est croissante ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : continuité 19-12-23 à 19:24

\boxed{1} Continuité en 0 :

On a clairement \boxed{\varphi(0)=f(0)}.

Soit \Large\varepsilon un réel strictement positif arbitraire,

la continuité de f en 0 donne l'existence d'un réel \Large\eta>0

tel que \boxed{\forall x\in[0,\eta]~,~|f(x)-f(0)|<\varepsilon}

et comme pour tout réel x\in[0,\eta], on a \displaystyle\varphi(x)=\sup_{[0,x]}f=f(y_x) pour un certain y_x\in[0,x]

on voit que \boxed{\forall x\in[0,\eta]~,~|\varphi(x)-\varphi(0)|<\varepsilon} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : continuité 19-12-23 à 21:35

\boxed{2} Continuité en x_0>0 :

La croissance de \varphi (théorème de la limite monotone) donne l'existence des deux limites

\boxed{\varphi(x_0^-)=\lim_{x\to x_0^-}\varphi(x)=\sup_{x<x_0}\varphi(x)} et \boxed{\varphi(x_0^+)=\lim_{x\to x_0^+}\varphi(x)=\inf_{x>x_0}\varphi(x)}

avec l'encadrement \boxed{\varphi(x_0^-)\leqslant \varphi(x_0) \leqslant\varphi(x_0^+)}.

Raisonnons par l'absurde en supposant \boxed{\varphi(x_0^-)<\varphi(x_0)} ou \boxed{\varphi(x_0)<\varphi(x_0^+)}.

\bullet Dans le premier cas on a pour n\in\mathbb N assez grand, \boxed{\varphi(x_0)=\sup_{[0,x_0]}f=max\left(\sup_{[0,x_0-\frac{1}{n}]}f,\sup_{[x_0-\frac{1}{n},x_0]}f\right)}

c'est à dire \boxed{\varphi(x_0)=max\left(\varphi(x_0-\frac{1}{n}),\sup_{[x_0-\frac{1}{n},x_0]}f\right)}

et comme \boxed{\varphi(x_0-\frac{1}{n})\leqslant\varphi(x_0^-)<\varphi(x_0)} on voit que pour n assez grand \boxed{\varphi(x_0)=\sup_{[x_0-\frac{1}{n},x_0]}f}

et comme ce dernier sup est atteint en un certain x_n\in[x_0-\frac{1}{n},x_0],

on voit en faisant tendre n vers l'infini (et par continuité de f en x_0) que \boxed{\varphi(x_0)=f(x_0)}

ce qui est absurde vu que \boxed{f(x_0)=\lim_{n\to+\infty}f(x_0-\frac{1}{n})\leqslant \varphi(x_0-\frac{1}{n})\leqslant\varphi(x_0^-)<\varphi(x_0)}.

\bullet Dans le second cas on a pour tout n\in\mathbb N^*, \boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})=\sup_{[0,x_0+\frac{1}{n}]}f=max\left(\sup_{[0,x_0]}f,\sup_{[x_0,x_0+\frac{1}{n}]}f\right)}

c'est à dire \boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})=max\left(\varphi(x_0),\sup_{[x_0,x_0+\frac{1}{n}]}f\right)}

et comme \boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})\geqslant\varphi(x_0^+)>\varphi(x_0)} on voit que pour tout n\in\mathbb N^*, \boxed{\varphi(x_0+\frac{1}{n})=\sup_{[x_0,x_0+\frac{1}{n}]}f}

ce dernier sup étant atteint en un certain x_n\in[x_0,x_0+\frac{1}{n}],

on voit en faisant tendre n vers l'infini (et par continuité de f en x_0) que \boxed{\varphi(x_0^+)=f(x_0)}

ce qui est absurde vu que \boxed{f(x_0)\leqslant\varphi(x_0)<\varphi(x_0^+)} sauf erreur de ma part bien entendu



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