Bonsoir.

Tes deux applications sont linéaires.
Tu as dois voir en cours un critère simple pour savoir si une application linéaire entre espaces normés est continue.

De plus, si tu ne le sais pas déjà, toutes les applications linéaires sont continues en dimension finie.
Comme E est de dimension finie, il n'y a rien à montrer.

C'est ce qui m'étonne, c'est supposé être un exercice d'oral donc je pensais que c'était moins évident que ça...

Je suis d'accord avec le fait que les applications linéaire sont continues en dimension finie.

Cependant, quel est l'intérêt de définir ||M|| = max {a ij} alors ?

Effectivement, c'est un peu étrange.
De plus, toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, alors utiliser celle-ci ou une autre, ça n'a pas d'importance.
Disons que celle mentionnée est la première qui vient à l'esprit ...

A mon avis, l'exercice veut que tu prouves la continuité sans utiliser le résultat que j'ai mentionné.
Il faut donc revenir au critère dont j'ai parlé, qui donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application linéaire soit continue.