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Continuité application pour norme

Posté par
loicligue 05-09-22 à 15:20

Bonjour !

J'espère que vous allez bien,

En relisant mon cours de topologie, je bloque sur quelque chose de (plutôt) bête :

Soient E = C^{0}([0,1], \mathds{R}), ||f||_{\infty}=sup_{0<x<1} |f(x)|, ||f||_{1}=\int_{0}^{1} |f(t)|dt ses normes associées...

On a introduit l'application : ev : C^{0}([0,1]) -> R, f\longmapsto f(0).

Le prof a dit : "L'appli ev est continue pour la norme sup mais pas pour la norme 1."

Et je n'arrive pas à montrer que cela est vrai...


Bonne après midi à vous

Posté par
Camélia Correcteurre : Continuité application pour norme 05-09-22 à 15:32

Bonjour

Pour la norme infinie il est presque évident qu'on peut trouver \lambda tel que |ev(f)|\leq \lambda ||f||_\infty.

Pour la norme 1, construis une suite (f_n) telle que ||f_n||_1 tende vers 0 mais pas |ev(f_n)|

Posté par
loicliguere : Continuité application pour norme 05-09-22 à 16:02

Merci pour ta réponse !

Mais ne faut-il pas être sûr au préalable que ev est une appli linéaire pour appliquer ce dont tu parles ?

Si je prends f et g des fonctions continues sur [0,1], cela ne veut pas dire que je vais avoir ev(f+g) = ev(f) + ev(g)... si?

Posté par
loicliguere : Continuité application pour norme 05-09-22 à 16:05

Oula non, j'ai rien dit, ça se montre facilement! Merci beaucoup

Posté par
loicliguere : Continuité application pour norme 05-09-22 à 16:42

Je n'arrive pas à trouver une bonne suite de fonction (f_n) puisque ||f_n||_1 = \sum_{k=0}^n|f_k|. Quelle série de fonction facile converge vers 0, autre que f_n(x)=0, \forall x puisque l'on veut f_n(0) \neq 0? Je ne vois pas...

Posté par
Ulmierere : Continuité application pour norme 05-09-22 à 17:03

Pense à la distribution de Dirac \delta_0 qui vaut 1 en 0 et 0 partout ailleurs. Son intégrale sur [0,1] est 0 mais sa valeur en 0 est 1.

Sauf que malheureusement, \delta_0 n'est pas une fonction continue. Essaie de l'approximer par une fonction affine par morceaux avec une pente de plus en plus abrupte en 0.


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