Niveau maths spé

Continuité convolution

Posté par
Serbiwni 03-04-21 à 13:58

Bonjour, je ne sais pas trop comment avancer sur cet exercice :
Soit $f$ une fonction $C^0_C(\mathbb R)$ (=0 pour tout x en dehors d'un compact fixé et continue) et g une fonction $C^k(\mathbb R)$ . Montrer que $(f * g)(x)=\int_{-\infty}^{+ \infty}f(t)g(x-t)dt$
est aussi $C^k(\mathbb R)$ :

Soit [a,b] l'intervalle en dehors duquel f est nulle partout. Alors $(f * g)(x)=\int_{-\infty}^{+ \infty}f(t)g(x-t)dt=\int_{-\infty}^{a}f(t)g(x-t)dt+\int_{a}^{b}f(t)g(x-t)dt+\int_{b}^{+ \infty}f(t)g(x-t)dt$
$(f * g)(x)=\int_{a}^{b}f(t)g(x-t)dt$
Après je ne sais pas trop comment montrer que la convolution est $C^k(\mathbb R)$ .

Posté par re : Continuité convolution 03-04-21 à 14:55

Bonjour!
Commence par montrer que f $\star$ g est continue

Posté par re : Continuité convolution 03-04-21 à 17:01

C'est fait ! Je ne vois pas trop où cela me mène...

Posté par re : Continuité convolution 03-04-21 à 19:24

Et maintenant, montre qu'on peut dériver sous l'intégrale et utilise la commutativité du produit de convolution pour exprimer $(f\ast g)'$ comme un produit de convolution de fonctions continues, ce qui donnera une fonction continue d'après la remarque d'etnopial. Ensuite, récurrence immédiate

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