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Continuité d'une fonction
Bonjour à tous.
Je travaille dans la topologie de la convergence uniforme sur C(X,Y), avec Y un espace métrique, muni d'une distance d. Je rappelle que la topologie de la convergence uniforme est induite par la métrique d': pour tout f,g € C(X,Y) d'(f,g) = Sup {d(f(x),g(x),x € X}. Sois CU(X,Y) l'espace topologie de cette topologie sur C(X,Y). Je dois montrer que l'application:
X x CU(X,Y) -> Y qui a (x,f) |-> f(x) est continue. Pouvez-vous me donnez des pistes s'il vous plaît. Merci d'avance.
J'ai pensé à montrer que mon application est continue est continue en tout point.
Soit (x,f) € X x CU(X,Y)
f(x) € Bd(y,r) ouvert de Y => d(f(x),y) < r.
Il reste à construire U x Bd'(f,r') ouvert de X x CU(X,Y) tel que:
(x,f) € U x Bd'(f,r') et F(U x Bd'(f,r')) C Bd(y,r) avec F(x,f) |-> f(x).
Mais je ne vois pas comment m'en sortir.
(Dans tout ce qui suit, B désigne une boule ouverte)
Montrons que est continue en (a,g):
Soit ;
Par continuité de g en a, il existe un voisinage V de a dans X tel que .
Soit , alors:
.
est alors un voisinage de (a,g) dans
tel que
.
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