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Continuité d'une fonction

Posté par
rzgrx 01-01-23 à 15:32

Bonjour à tous et bonne année !

J'ai un petit exercice où je bloque un peu...
Voici l'énoncé :

Soit f : R --> R et x un réel.
Supposons que pour toute suite (un) qui tend vers x, f(un) tend vers une limite l_u. Démontrer que f est continue en x.

A part réécrire l'énoncé, je n'ai pas beaucoup d'idée...
On cherche à montrer que f est continue en x cad que f admet une limite à droite et a gauche de x, et que ces deux limites sont égales à f(x). On a \lim_{t->x}f(t)=l_{u}
par caractérisation séquentielle de la limite d'une fonction.


Merci d'avance !

(je précise que je suis en pcsi)

Posté par
carpediemre : Continuité d'une fonction 01-01-23 à 17:21

salut

il suffit de montrer que cette limite est la même pour toutes les suites ...

soit donc (u_n) $ et $ (v_n) deux suites tendant vers x et de limite L_u $ et $ L_v

montre alors que si L_u \ne L_v alors f ne peut pas être continue en x

Posté par
carpediemre : Continuité d'une fonction 01-01-23 à 17:22

... et que cette limite est f(x) ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité d'une fonction 01-01-23 à 22:04

Bonsoir

Citation :
il suffit de montrer que cette limite est la même pour toutes les suites ...


On peut raffiner la suggestion de carpediem :

Soit (u_n) une suite de limite x et (v_n) la suite définie par \left\lbrace\begin{array}l v_{2n}=u_n \\ v_{2n+1}=x \end{array}.

Alors (v_n) est de limite x, et donc par hypothèse la suite \left(f(v_n)\right) admet une limite \ell_v

et comme les deux suites \left(f(u_n)\right) et \left(f(x)\right) sont extraites de \left(f(v_n)\right) ...

Posté par
rzgrxre : Continuité d'une fonction 02-01-23 à 17:10

Merci beaucoup carpediem et elhor_abdelali !

J'ai l'idée.
J'ai d'abord montré que l_u ne dépendait pas de la suite (un) en posant trois suites : (un) et (vn) convergent vers x et (wn) défini comme étant égale à un si n pair et égal a vn sinon.
On prouve donc que l_u ne dépend pas de la suite car l_u=l_v=l_w par hypothèse. (car (f(un)) et (f(vn)) sont extraites de (f(wn)) et (f(wn)) converge vers l_w donc même limite)

Puis je montre que cette limite est égale à f(x) en utilisant l'idée d'elhor_abdelali en posant une suite égale a x si n pair et un sinon.

Merci !

Posté par
carpediemre : Continuité d'une fonction 02-01-23 à 17:35

ben oui !!!

une fois que tu as montré que toutes les suites ont même limite tu peux même considérer par exemple la suite u_n = x + \dfrac 1 n

Posté par
rzgrxre : Continuité d'une fonction 02-01-23 à 17:59

Finalement j'ai directement considéré la suite de terme général x

Merci encore et bonne soirée !

Posté par
carpediemre : Continuité d'une fonction 02-01-23 à 19:06

de rien


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