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Continuité d'une fonction à deux variables
Bonjour,
j'essaie de résoudre un problème mais je bloque, le voici :
Soit A=(a,b) un élément de 
² et r>0, f une application de B(A,r) dans dont les deux dérivées partielles premières sont définies sur B(A,r) et continues en A.
Je dois montrer que f est continue en A. Je sais que si f est continue en A alors ses applications partielles le sont. Cependant, je ne vois pas comment passer dans l'autre sens...
Merci d'avance pour votre aide !
Camille.
Bonjour
ecris |f(a+h,b+k)-f(a,b)|
|f(a+h,b+k)-f(a,b+k)|+|f(a,b+k)-f(a,b)|
puis majore chaque valeur absolue en utilisant le théorème des accroissements finis pour une fonction de variable réelle.
A propos de l'utilisation du théorème des accroissements finis, il est définit pour une fonction à une variable réelle. Donc ici on est obliger de l'appliquer pour x puis pour y ?
D'accord,
donc la première valeur absolue est majorée par g'1(t) et la deuxième par g'2(t) ?
Merci pour votre aide !
f(a) quand h f a deux variables! et il faut quand même utiliser l'hypothèse sur la continuité des dérivées partielles.
J'ai du mal à voir,
pour résumer, on a :
(|f(a+h,b+k)-f(a,b+k)|)/|h|
g'1(t) quand h tend vers 0
de même pour la seconde valeur absolue
Or les deux dérivées partielles premières sont continues en A, donc :
f(a+h,b+k) f(a,b+k)
et de même pour la seconde valeur absolue.
Je ne suis pas sûr du tout de moi ? Merci.
Non, tu ne peux pas dire ça, h et k tendent vers 0 en même temps! Tant que tu n'auras pas écrit que valent les dérivées de g1 et g2 ça n'avancera pas!
Alors g'1(t)=f'(t,b+h)
et g'2(t)=f'(a,t) //Il s'agit des deux dérivées partielles !
Cependant, on ne peut pas les écrire sous une autre forme ?
avec a < t < a+h
avec b < t < b+k
Soit 
>0. L'hypothèse sur la continuité au point (a,b) des dérivées partielles assure l'existence de 
>0 tel que
.
On a alors pour |h| < et |k| < ,
et maintenant tu fais tendre h et k vers 0.
D'accord, merci !
et lorsque l'on fait tendre h et k vers 0,
on a |f(a+h,b+k)-f(a,b)| qui va tendre aussi vers 0, et c'est ceci qui assure la continuité de f en A ??
D'accord !
Je me demandais, la continuité des deux dérivés partielles est-elle nécessaire pour avoir la continuité de f en A ?
Non, elle n'est pas nécessaire... Il existe des fonctions continues ayant des dérivées partielles non continues.
Ah d'accord, mais pour montrer une continuité en un point A avec des dérivées partielles non continues on pourrait passer par quel chemin ?
D'accord, je vois !!
J'ai un dernier problème :
on a un vecteur v=(
,
), non nul de , et je dois exprimer 
fv(A) en fonction de f/x(A) et f/y(A)
on a donc fv(A)= fv/x(A) + fv/y(A)
Or je ne suis pas sur, fv = f/x + f/y, est-ce cela ??? Merci encore !
Excusez moi, vous dites qu' "il existe des fonctions continues ayant des dérivées partielles non continues" mais auriez vous un exemple. En cours, nous n'avons vu que le cas contraire et j'aurais aimé pouvoir avoir eu un contre exemple.
Je vous remercie d'avance pour votre exemple.
Oui, f(x)=(x^3+y^3)/(x²+y²) pour (x,y)
(0,0)est continue en 0 mais ses dérivées partielles ne sont pas continues en 0.
J'ai un dernier problème :
on a un vecteur v=(,), non nul de , et je dois exprimer fv(A) en fonction de f/x(A) et f/y(A)
on a donc fv(A)= fv/x(A) + fv/y(A)
Or je ne suis pas sur, fv = f/x + f/y, est-ce cela ??? Merci encore !
moi j'ai v=(v1,v2)(0,0)
Dvf(a)=D1f(a)v1 + D2f(a)v2
avec D1,D2 les deux dérivées partielles
selon vous faut il expliquer comment on trouve cette formule car on ne l'a pas démontré
Bonjour, je -up- la dernière question :
Merci !
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J'ai un dernier problème :
on a un vecteur v=(,), non nul de , et je dois exprimer fv(A) en fonction de f/x(A) et f/y(A)
on a donc fv(A)= fv/x(A) + fv/y(A)
Or je ne suis pas sur, fv = f/x + f/y, est-ce cela ???
Voilà comment ça fonctionne:
Par définition:
Or on sait que où
(u) tend vers 0 si u tend vers 0. Reste à diviser par t et à regarder la limite...
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