Bonjour
On définit la fonction par (l'espace de départ est l'espace des réseaux de R2, muni de sa topologie naturelle)
J'ai déjà montré que g2 convergait absolument, et uniformément sur tout compact, mais cela suffit-t-il pour dire que g2 est continue?
Que faut-il de plus?
Peu importe si vous ne connaissez pas la topologie de l'espace des réseaux de R2, j'aimerais savoir s'il y a un résultat général concernant la continuité d'une fonction définie par une série.
Merci
Fractal
D'après ce post -> il semblerait que la convergence uniforme sur tout compact, ainsi que la continuité des termes de la série suffise pour que la somme soit continue.
Pourriez-vous confirmer ou infirmer?
Parce que dans le document que j'ai ils disent, après avoir montré la convergence absolue et la convergence uniforme sur tout compact :
salut Fractal,
Oki
Mais il y a sans doute des hypothèses sur l'espace de départ (du genre localement compact, ou quelque chose comme ça)?
Est-ce que tu te rappelle grosso modo l'idée de la démo?
Fractal
Pour une suite de d'applications continues de métrique dans métrique, si les converge uniformément sur tout compact de ,
la suite converge uniformément et la limite est continue.
Pour le montrer, on utilise le fait que la continuité en un point de "est conservée" par passage à la limite uniforme,
et que pour une application avec métrique et espace topologique, la continuité de dans est équivalente à la continuité sur tout compact de .
D'accord
Et on a bien besoin de la compacité locale de X pour pouvoir dire dans le cas général que la continuité de f sur X est équivalente à la continuité de f sur tout compact.
Merci
Fractal
je viens de vérifier la preuve sur le Choquet,
il n'y a apparemment pas besoin de compacité locale de X, juste du fait que X soit un espace métrique, afin de pouvoir utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité.
Je pense que si on veut généraliser un peu plus, on pourrait dire que X admet une base locale dénombrable de voisinages en tout point.
Je viens de trouver sur wiki que la continuité sur tout compact impliquait la continuité globale lorsque X est localement compact ou bien lorsque sa topologie est définie par une métrique ^^
Donc on a tous les deux raison, nos conditions marchent toutes les deux
Fractal
On peut y mettre la topologie de Chabauty, qui est une topologie sur l'ensemble des fermés d'un espace topologique définie ainsi :
Meuh non
On voit bien ce que ça veut dire que deux réseaux soient proches, c'en est juste une formalisation ^^
M'enfin, mieux vaut travailler avec (ou dans le cas des réseaux unitaires) c'est quand même plus sympathique ^^
Fractal
Il y a même encore plus simple tu peux travailler dans HxC*, ou H es le demi plan de poincaré, et en fait si tu quotiente par la realtion d'equivalence definissant deux resaux equivalents ssi ils sont homotétiques alors tu peux juste travailler dans H le demi plan de poincaré.
C'est ce qu'on fait dans la pratique... LA fait que quotienté par la relation d'homotétie se justifie quand on s'interresse aux courbes ellitptiques (ce qui m'a l'air d'etre le cas ici ) car deux courbes ellitptiques C/L et C/L' sont isogénes (et diffeomorphes en tant que groupe analytiques complexe) ssi L et L' sont homotétiques.
Voui ^^
J'aurai sans doute pas le temps de parler précisément de tout ça de façon approfondie, mais j'aimerais bien pouvoir aller quand même assez loin
En tous cas c'est super intéressant comme sujet
Fractal
Ah oui, la topo c'est très intéressant. Alors qu'on y ajoute de l'algèbre et qu'on utilise un vocabulaire de géométrie j'en doute pas.
Bon courage en tous cas!
kéké >> Tkt, j'ai pas compris grand chose non plus. Ya des moments comme ça où on se dit que Galois c'est vraiment simple.
C'est kro marrant, j'adoooooore ça. Tu nous tiendras informé hein? J'aime bien lire les trucs marrants surtout quand j'y comprends rien.
D'ailleurs, ce résultat ainsi que la correspondance entre nœuds modulaires et nœuds de Lorenz est illustré ici -> avec des animations partout de trucs qui tournent dans tous les sens (), sans trop de maths compliquées à comprendre
Et le plus beau est quand même à la fin, où ils montrent une autre dynamique sur l'espace des réseaux unitaires de R2, pour laquelle plus le temps avance plus la courbe se met à remplir tout l'espace (voir le lien ci-dessus), et
J'y connais rien en topologie, mais question cucu : tout ça ça a une application "concrête" ?
Meeuuuuhhh non, JFF mon vieux! Tu connais beaucoup d'applications de Galois en physique toi? C'est pareil, même combat. Enfin, on va laisser le spécialiste s'exprimer.
Non mais Galois ça permet quand même de démontrer des résultats liés à des trucs simples comme le théorème d'Abel. Donc là je me demande si hors mis la beauté mathématique on pouvait y trouver des utilisations dans des choses plus basiques.
Ayoub -> Je te rassure, je n'ai strictement aucune idée de ce que l'hypothèse de Riemann vient faire là
Kévin ->
J'allais oublier : qu'est-ce qu'un cristal si ce n'est un réseau, ou une réunion de réseaux?
C'est d'autre part en passant par la dynamique sur les réseaux que Margulis a démontré la conjecture d'Oppenheim, une conjecture d'arithmétique restée ouverte pendant près d'un demi siècle.
Fractal
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