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Niveau Maths sup
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Continuité d'une fonction partie entière.

Posté par
themandunord
13-02-11 à 11:50

Bonjour,

Voici l'énoncé de mon exercice:

On considére les fonctions f et g définies sur par:
\forall x , f(x)=x+(x-E(x))  et g(x)=E(x)+(x-E(x))
Où la notation E(x) désigne la partie entière de x
Dans les questions, la lettre n désigne un entier arbitraire.

1. Justifier que f et g sont continues sur l'intervalle ]n,n+1[

2.a) Etudier la continuité de f et g en n

2.b) Conclure concernant la continuité sur de f et g

3. Représenter sur le même graphique en limitant les abscisses à l'intervalle [-1,2]

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 11:55

Mes réponses :

1. La fonction partie entière est continue sur ]n,n+1[.
Donc les fonctions f et g sont continues sur cet intervalle puisque c'est la composé de fonction continue sur cet intervalle.

2.a) Ici ce pose le problème, j'avais débuter mon raisonnement avec un entier naturel , de ce fait j'avais conclue que f n'est pas continue en n et g est continue en n.
Mais le problème ce que n est un entier arbitraire donc peut être négatif (non?)
Donc comment procédé pour cette question? faut-t-il que je disqtingue les deux cas où il faut tout refaire ?

Pour le reste des questions j'attendrais l'aide a la question 2a.

Merci

Posté par
pythamede
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 12:04

Le fait que l'entier n soit positif ou négatif est sans intérêt ici, car la fonction E(x) a la même définition quel que soit le signe de x :

E(x) est l'unique entier tel que E(x) x < E(x)+1

IL n'y a aucune différence entre le raisonnement à faire lorsque n est un entier naturel et le raisonnement à faire lorsque n est un entier négatif. Pour ton raisonnement, il suffit de ne pas préciser que n est "naturel", normalement, rien dans ton raisonnement (que je n'ai pas vu) ne s'oppose à ce que n soit négatif !

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 12:14

A oui tu a pas tord pythamede.

Bon voici mon raisonnement pour montrer la continuité de f et g en n :

Commençons par f :
Pour montrer que la fonction est continue en un point eu montre que la limite a gauche et la limite a droite sont identiques.
\lim_{x\to n} f(x)= n+1 pour limite à gauche.
\lim_{x\to n} f(x)= n pour limite à droite.

Donc f n'est pas continue en n.

Puis pour g :
\lim_{x\to n} f(x) a gauche =\lim_{x\to +\infty} f(x)a droite =n

Donc g est continue en n

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 12:18

Excusez moi pour la médiocrité de mon LaTex à la fin ...

C'est plutot \lim_{x\to n} g(x) a gauche = \lim_{x\to n} g(x) a doitre = n

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 14:10

Mon raisonnement semble faut, puisque pour al question 2B cela ne pourra pas répondre à la question n'est-ce pas?

Quelqu'un peut m'éclairais Svp ?

Merci

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 14:24

salut

ben quel est le pb ?

f n'est pas continue en les entiers donc f n'est pas continue

g est continue entre les entiers et en les entiers donc g est continue....

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 15:16

Bien que dois-je répondre à la question 2B alors ?
Il faut que je réponde que f et g ne sont pas continue sur ?

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 16:28

ben je t'ai donné la réponse, non ?

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 16:38

A donc il faut dire que f n'est pas continue sur R car n'est pas compris entre des entiers et g est continue sur R car il est compris entre des entiers ?

Il faut juste dire sa ?

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 16:41

f n'est pas continue sur R car pas continue en les entiers

g est continue sur R (car continue entre les entiers et en les entiers !!!!)

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 17:33

Je suis troublé par cet exercice^^"

Déjà ais-je bon sur la continuité de mes fonction car si c'est déjà pas bon sa sert a rien de continuer.

Je ne comprend pas trop pourquoi g continue avec votre réponse carpediem ( entre les entiers et en les entiers )

Et ensuite pour tracer la courbe il faut juste prendre différent valeurs de X ?

Merci

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 17:46

sur chaque intervalle ]n,n+1[ f et g sont continues comme composée de fonctions continues commme tu l'as dit

maintenant en un entier n tu as prouvé que f n'est pas continue et g est continue

d'où la conclusion...

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 17:50

OK merci Carpediem je crois que je comprend petit à petit

Donc pour la courbe , je sais que g est continue donc pas de problème, mais par contre f n'est pas continue , cela veut dire qu'a chaque entier je doit "lever mon crayon" ?

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 19:24

oui

Continuité d\'une fonction partie entière.

Posté par
pythamede
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 19:48

Merci pour le dessin, carpediem, je n'ai pas cherché à imaginer à quoi resssemblait les graphes.

Citation :
Pour montrer que la fonction est continue en un point eu montre que la limite a gauche et la limite a droite sont identiques.


Certes, cela est nécessaire pour que la fonction soit continue, mais cela ne suffit pas. Il faut de plus que \lim_{x \to a} f(x) soit égale à f(a).

Il convient de ne pas oublier ce détail.

Par contre, il suffit de trouver une seule valeur de a de x telle que la limite à gauche de f en a soit différente de la limite à droite pour pouvoir affirmer que f n'est pas continue sur \mathbb{R}.

Citation :
mais par contre f n'est pas continue , cela veut dire qu'a chaque entier je doit "lever mon crayon" ?


L'expression "lever (ou pas) son crayon" est une explication valable pour un élève de première, à la rigueur de Terminale. Mais en à mon sens, en math'sup', la manière de tenir son crayon ne devrait pas intervenir dans les raisonnements mathématiques.

Un fonction f est continue en a si

1 - f(a) est défini

2 - \lim_{x \to a}\,f(x) existe (ce qui rend nécessaire que \lim_{x \to a^+}\,f(x)=\lim_{x \to a^-}\,f(x))

3 - \lim_{x \to a}\,f(x)=f(a)

Il arrive cependant que l'on condense, de manière correcte, cette définition en disant :

f est continue en a si \lim_{x \to a}\,f(x)=f(a) car elle sous-entend que f(a) existe (puisque l'on y fait référence) et que \lim_{x \to a}\,f(x) existe (puisque l'on y fait référence). Mais il arrive que l'on soit contraint de vérifier chacun de ces trois points.

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 20:04

je suis d'accord avec toit pour ces précisions....

Posté par
themandunord
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 20:59

Que dire à part MERCI

pythamede merci de votre explication, mais je voulais abrégé mon explication , en tout cas joli explication qui est très significative

Merci également a carpediem pour ce graphe
Je l'avais tracé sur WIMS mais pour les lui les courbes étaient continues sont les points se rejoignées.

Bonne Continuation Merci

Posté par
carpediem
re : Continuité d'une fonction partie entière. 13-02-11 à 22:45

de rien

Posté par
pythamede
re : Continuité d'une fonction partie entière. 14-02-11 à 09:25

my pleasure !



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