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Continuité dans le cadre de la convergence uniforme

Posté par
Leonegres 06-01-13 à 19:18

Bonjour,

Dans le cadre du théorème suivant :

Soit (U_n) une suite d'applications définies sur I.
Si la série (\Sigma U_n) est uniformément convergente sur I, et si chacune des fonctions U_n est continue en x_0 de I, alors \Sigma_{n=0}^{+\infty} U_n st continue en x_0

comment comprendriez-vous la pharse suivante :

"Il suffit en fait que la convergence de (\Sigma U_n) soit uniforme sur tout intervalle fermé borné de I, pour assurer la convergence de \Sigma_{n=0}^{+\infty} U_n sur I." ?


Est-ce que I peut-être \R tout entier ?

Merci

Posté par
AOIre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 06-01-13 à 22:45

Je la comprends de la façon suivante: si Un converge uniformément sur tout segment de I (ie tout intervalle fermé borné), alors Un converge simplement en chaque point de I (attention le piège ici est qu'il n'y a pas convergence uniforme sur I). De plus le théorème s'applique à chaque point qui n'est pas une extrémité de I (et ça marche pour )

En pratique voilà comment se servir de cette remarque: si tu veux montrer qu'une série de fonction est continue sur , il est souvent plus facile de montrer qu'on a convergence uniforme sur tout segment de que convergence uniforme sur tout entier. La convergence uniforme sur tout segment implique la continuité sur tout segment, et de là la continuité sur tout entier.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 07-01-13 à 07:20

Bonjour AOI,

Je te remercie.
Je t'avoue avoir du mal à appréhender cette notion.
Je ne comprends pas bien la subtilité suivante :
"si \Sigma U_n converge uniformément sur tout segment de I (ie tout intervalle fermé borné), alors Un converge simplement en chaque point de I (attention le piège ici est qu'il n'y a pas convergence uniforme sur I)."

Peux-tu m'apporter ton éclairage s'il te plaît, je ne souhaiterais pas passer à côté de cela.
Je continue de mon côté à "creuser l'affaire".
Te remerciant.

Posté par
AOIre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 07-01-13 à 15:23

Ici je suppose que tu appelles I un intervalle, on peut donc poser I=(a,b) où a et b sont éventuellement infinis et où les parenthèses représentent des crochets soit fermés, soit ouverts.
Il est alors facile de voir que tout point x de I appartient à un segment inclus dans I. Donc si \Sigma U_n converge uniformément sur tout segment de I, \Sigma U_n converge en x (car la convergence uniforme implique la convergence simple).

En revanche la convergence uniforme sur I est fausse: prenons le contre exemple suivant:
Soit Un définie sur I=[0;1[ par Un(x)=xn.
Soit J un segment de I: J=[a;b], a0 et b<1.Alors Un converge uniformément sur J vers f(x)=1/(1-x)
En effet xJ,
|\sum_{k=0}^n{U_n(x)}-f(x)|=\sum_{k={n+1}}^{+\infty}{U_n(x)}=\frac{x^{n+1}}{1-x}<\frac{b^{n+1}}{1-b}
D'où ||\sum_{k=0}^n{U_n(x)}-f(x)||_{\infty}<\frac{b^{n+1}}{1-b}qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, donc Un converge bien uniformément sur tout segment de I

Montrons désormais qu'elle ne converge pas uniformément sur I:
Posons xn=(1-1/n). Alors:
|\sum_{k=0}^n{U_n(x_n)}-f(x_n)|=\sum_{k={n+1}}^{+\infty}{U_n(x_n)}=\frac{x_n^{n+1}}{1-x_n} ce qui tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, donc Un ne converge pas uniformément sur I

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 07-01-13 à 17:34

Citation :
"si la série converge uniformément sur tout segment de I, alors elle converge simplement en chaque point de I
(attention le piège ici est qu'il n'y a pas convergence uniforme sur I)."

Bonjour Leonegres,

Juste une petite remarque en complément de l'excellente réponse de AOI (pour éviter toute confusion)...
La formulation exacte de sa pensée serait plutôt :

Citation :
"si la série est CVU sur tout segment de I, alors elle est CVS en chaque point de I
(attention le piège est que la série n'est pas nécessairement CVU sur I)."

La première partie de l'affirmation se démontre simplement comme l'a fait AOI :
Si une série est CVU sur tout segment de I, alors pour tout point x de I :
il suffit de considérer un segment de I contenant x pour affirmer que la série est CVU sur ce segment, et donc en x.
Donc la série est CVS en tout point de I, donc CVS sur I.

Pour la deuxième partie (le "piège"...) :
... elle signifie simplement qu'être CVU en tout segment de I ne garantit pas d'être CVU sur I.
Le contre exemple proposé par AOI le confirme clairement.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 08-01-13 à 23:58

Bon, je vous remercie, je vais lire tout cela très attentivement.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 09-01-13 à 14:27

Citation :
Soit J un segment de I: J=[a;b], a0 et b<1.Alors Un converge uniformément sur J vers f(x)=1/(1-x)


Je pense saisir, par contre, je ne comprends pas ce qui permet d'affirmer le point ci-dessus (?)

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 09-01-13 à 14:33

Oh là là .... Au temps pour moi.

C'est ok.

Merci beaucoup à tous les 2.

Posté par
jeansebre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 09-01-13 à 14:40

Bonjour

La continuité est une propriété locale. C'est pour cela qu'on n'a pas besoin de la convergence uniforme sur IR, qui est suffisante mais est une exigence très forte.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 09-01-13 à 14:42

Merci

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 10-01-13 à 12:05


LeDino,

Citation :
Pour la deuxième partie (le "piège"...) :
... elle signifie simplement qu'être CVU en tout segment de I ne garantit pas d'être CVU sur I.


==> mais si je comprends bien, cela implique néanmoins la Convergence Simple sur TOUT I, c'est bien cela ?

Merci

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 10-01-13 à 12:14

Donc ce serait :

"Il suffit en fait que la convergence de (\Sigma U_n) soit uniforme sur tout intervalle fermé borné de I, pour assurer la convergence \red\text{(pas forcément uniforme)} de \Sigma_{n=0}^{+\infty} U_n sur I." ?

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 10-01-13 à 14:09

Oui aux deux derniers messages .

Propriété :
Si la série est CVU sur tout segment de I, alors elle est CVS sur tout I.
Remarque :
La CVS n'entraîne pas nécessairement la CVU, donc la série n'est pas forcément CVU sur tout I.

Autre résumé :  la CVU en tout segment de I prolonge la CVS (mais pas la CVU) à tout l'ensemble I.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 10-01-13 à 16:55

Merci LeDino,

C'est toujours très clair une fois qu'on a compris.

Mais sans votre éclairage je serais encore en plein phares dans le brouillard

Merci beaucoup à tous. je vais très certainement avoir d'autres questions ...

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 10-01-13 à 20:46

Sur ce genre de sujet assez abstrait, je te conseille plus que jamais des exercices aussi simples que possible, pour se familiariser avec les notions.
C'est pour ça que l'exemple proposé par AOI est précieux : il permet de se donner une idée de ce dont on parle sur un cas concret et assez simple.

A la prochaine .

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 11-01-13 à 06:49

Oui, et je remercie AOI pour cette réponse fort circonstanciée.

Comme je disais, j'allais avoir quelques questions.

En fait, voici mon petit souci :

Regardons la continuité de la série de fonctions suivante :

(j'explique ci-dessous mon raisonnement, afin de savoir par la même occasion si selon vous il est correct )

\Sigma f_n  avec f_n=\frac{1}{n+n^2x} sur \R^+

Posons \alpha>0

Donc \forall x\in[\alpha,+\infty[,Sup{\mid\frac{1}{n+n^2x}\mid}=\frac{1}{n+n\alpha^2}\Longrightarrow \mid f_n\mid\leq \frac{1}{n+n^2\alpha}, or \Sigma\frac{1}{n+n^2\alpha}\text{ converge sur }[\alpha,+\infty[\text{, donc }\Sigma f_n\text{ converge normalement sur }[\alpha,+\infty[\text{, d'où }\Sigma f_n\text{ converge uniformément sur }[\alpha,+\infty[

Chacune des f_n est continue sur [\alpha,+\infty[, donc \Sigma f_n est continue sur [\alpha,+\infty[ de part la convergence uniforme vue ci-dessus, et donc de surcroît est continue sur tout intervalle intervalle fermé borné de type [\alpha,M]\text{ avec }M>\alpha

\red\text{Puis-je en conclure pour autant que }\Sigma f_n\text{ est continue sur }]0,+\infty[\text{ ?}

Car ici, ce n'est pas (peut-être à tort) le \red+\infty[ qui me porte interrogations, mais le  \red]0

En effet, sur ]0,+\infty[\text{ , }Sup{\mid\frac{1}{n+n^2x}\mid}=\frac{1}{n}, qui est le terme général d'une série divergence.

Il n'y a donc pas de convergence normale sur ]0,+\infty[, et je n'ai pas plus prouvé la convergence uniforme sur cet intervalle.

Et à partir de là, je ne sais plus ...

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 11-01-13 à 12:17

Y'aurait-il une âme charitable pour m'éclairer ?

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 11-01-13 à 16:40

Personne ?

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 11-01-13 à 17:46

Bonjour Leonegres,

Cet exercice est très représentatif des "discussions" autour de la CVU.
Ce que tu as écrit est plutôt correct.
Je te propose une version bien "posée" pour encore plus de clarté (j'espère ...).


Notations :
fn = 1/(n+n²x)
S(x) = fn(x)  (de n=1 à + l'infini)
I  = [0 ; +infini[
I' = ]0 ; +infini[    inclus dans I
I" = [a ; b]           segment inclus dans I'

PLAN D'ETUDE :

CVS (et CVA) :
Pour x=0 :  fn(0) = 1/n    DV (d'après Riemann)
Pour x>0 :  fn(x) = 1/(n+n²x)    CV (d'après Riemann)
Donc :  fn est CVS sur I'  (mais pas sur I).
NB : fn(x) > 0  donc la CVS entraîne également la CVA sur I'.

CVN sur I :
Il est inutile d'inclure 0 dans le domaine étudié, puisqu'on sait déjà qu'il n'y a pas CVS en 0.
Donc fn est non CVN sur I.

CVN sur I' :
Pour x>0 :  fn(x) = 1/(n+n²x)  
fn(x) est positive décroissante...
==>  sup|fn(x)|I' = 1/n  dont la série DV  (Riemann).
Donc fn est non CVN sur I'.

CVN sur I" :
Pour tout segment I" = [a;b] inclus dans I' :
fn(x) est positive décroissante...
==>  sup|fn(x)|I" = fn(a) = 1/(n+an²) ~ 1/(an²)  dont la série CV  (Riemann).
Donc fn est CVN sur tout segment I" inclus dans I'.
Donc fn est CVU sur tout segment I" inclus dans I'.
Comme les fn sont continues sur I', on en déduit que la somme S(x) est continue sur I'.

Remarque :  la somme S(x) n'est pas continue sur I en entier...
... car elle est discontinue en 0 (elle n'est d'ailleurs même pas définie en 0).

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 12-01-13 à 09:38

Bonjour LeDino,

Merci beaucoup, je vais regarder cela et reposter.
Qu'entends-tu par CVA ? (convergence normale ?)

Te remerciant.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 12-01-13 à 15:42

Ah ok, CVA = convergence absolue ....

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 12-01-13 à 16:34

Mouai mouai mouai ...

Et bien écoute LeDino je ne sais comment te remercier pour ce cheminement explicatif aussi clair, je pense que je commence à intégrer la notion.

J'ai encore quelques questions si tu veux bien.

1)-

Citation :
NB : fn(x) > 0  donc la CVS entraîne également la CVA sur I'.


J'avoue ne jamais avoir vu la CVA sous ce biais là, peux-tu m'en dire plus stp ?

2)-
Est-ce lié à ces "subtilités" ce qu'on appelle un point adhérent ? (c'estpour ma gouverne).

Merci

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 08:57

3)-

Et j'aurai une 3ème question, la plus importante à mes yeux :

Citation :
CVN sur I" :
Pour tout segment I" = [a;b] inclus dans I' :
fn(x) est positive décroissante...
==>  sup|fn(x)|I" = fn(a) = 1/(n+an²) ~ 1/(an²)  dont la série CV  (Riemann).
Donc fn est CVN sur tout segment I" inclus dans I'.
Donc fn est CVU sur tout segment I" inclus dans I'.
Comme les fn sont continues sur I', on en déduit que la somme S(x) est continue sur I'.


Je suis ok là-dessus.

\red\text{A présent, si je regarde la chose comme ça :}

CVN sur I" :
Pour tout segment I" = [a;b] inclus dans I', le quel est inclus dans I, donc [a,b] fermé borné inclus dans I=[0,+[:
fn(x) est positive décroissante...
==>  sup|fn(x)|I" = fn(a) = 1/(n+an²) ~ 1/(an²)  dont la série CV  (Riemann).
Donc fn est CVN sur tout segment I" inclus dans I'.
Donc fn est CVU sur tout segment I"=[a,b] inclus dans I', donc tout [a,b] inclus dans I.

Or, comme :

"Il suffit en fait que la convergence de (\Sigma U_n) soit uniforme sur tout intervalle fermé borné de I, pour assurer la convergence de \Sigma_{n=0}^{+\infty} U_n sur I."

Ici on aurait donc  la CVU sur tout [a,b] inclus dans I=[0,+[, donc la CVS sur tout I.

Comme les fn sont continues sur I', on en déduit que la somme S(x) est continue sur I=[0,+[.

\red\text{C'est faux, mais où cloche mon raisonnement si je me base sur la phrase que je posais en tout début de mon topic, et pour laquelle je portais des interrogations .}  

Merci de bien vouloir m'éclairer sur ce dernier point, car je sens que le flottement que j'ai là est important.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 09:37

Pour la 3eme question :

Ah Bravo Léo !!!!

ça y est, je viens de comprendre mon beau mélange de pinceaux !!!

Elle est belle celle-là !

Dans mon cours, ce n'est pas :


"Il suffit en fait que la convergence de (\Sigma U_n) soit uniforme sur tout intervalle fermé borné de I, pour assurer la convergence de \Sigma_{n=0}^{+\infty} U_n sur I."

Mais :

"Il suffit en fait que la convergence de (\Sigma U_n) soit uniforme sur tout intervalle fermé borné de I, pour assurer la \red\text{continuité} de \Sigma_{n=0}^{+\infty} U_n sur I."

Mon Dieu ....

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 09:40

Ce qui m'ammène à une autre demande de précisions pour que je ferme bien la boucle :

Peux-ti me préciser ta remarque LeDino stp :

Citation :

Remarque :  la somme S(x) n'est pas continue sur I en entier...
... car elle est discontinue en 0 (elle n'est d'ailleurs même pas définie en 0).


Merci

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 14:55

....... quoi que je me demande si je ne viens pas de comprendre.

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 22:16

Pour la CVA, c'est juste une remarque "en passant".
La CVA est simplement la convergence de la série |fn|.
Une série positive qui est CVS est donc CVA.

J'ai mentionné ce détail juste pour passer en revue tous les types de convergence.
Ca n'a pas grande importance...

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 22:32

Pour la continuité de S(x) c'est également juste une remarque en passant.
La CVU sur tout segment I'' de I' entraîne la continuité de S(x) sur I' (les fn étant continues).
Il est normal de se demander s'il y a également continuité sur I, donc en zéro.

Or la non continuité en 0 est évidente puisque S(x) n'existe pas en 0.

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 13-01-13 à 23:49

Merci beaucoup LeDino pour tes réponses et leur clarté, ça fait vraiment plaisir.

A bientôt.

Posté par
LeDinore : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 14-01-13 à 14:58



Puisque tu es "chaud" sur le sujet... une autre remarque en passant :

La propriété sur la continuité des séries CVU :  
Une série de fn continues, CVU sur tout segment de I, a sa somme S(x) continue sur I...
... est souvent utilisée "à l'envers" pour prouver la non CVU d'une série.

Il y a beaucoup d'exercices où on te donne une série de fn continues qui est CVS sur I...
... MAIS qui n'est pas continue en une borne de I.
Tu peux alors en déduire qu'elle n'est pas CVU sur I car sinon, il y aurait continuité de S(x) sur tout le domaine I.

Exemple :
fn(x) = x.e-nx
I = R+

Pour x = 0 :  fn(0) = 0.e0 = 0*1 = 0  ==>  S(0) = 0
Pour x > 0 :  fn(x) = x.exp(-x)n
On pose :  exp(-x) = q     0 < q < 1
Somme des fn est alors une série géométrique...
fn(x) = x.qn
fn(x) = x/(1-e-x) ~ x/(1-(1-x)) ~ 1

On prouve l'existence de S(x), donc la série est CVS.
Mais on voit que S(x) ~ 1  en 0...
Or S(0) = 0  différent de sa limite  ==>  S(x) est discontinue en 0.
On note que les fn sont continues sur I.

Donc la série n'est pas CVU sur I.


... Ca c'est à retenir, parce que tu auras forcément ce genre d'exercice.
Je crois qu'il se passe le même genre de chose avec :  fn(x) = sin²x.cosnx
... à vérifier ...

Posté par
Leonegresre : Continuité dans le cadre de la convergence uniforme 14-01-13 à 22:34

Bonsoir LeDino

Je regarde tout ça très prochainement .


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