Bonjour !
La continuité en

J'imagine que f est majorée ? non ?

g est croissante .
La continuité à gauche est immédiate : Pour tout a : Sup{ g(x) | x < a } = g(a)

Désolé, coupure de connexion !
La continuité de en permet d'avoir un intervalle   où .

Ou bien la borne supérieure de sur est atteinte avant et dans ce cas, est constante sur .

Sinon cette borne supérieure est dans donc ???

Bonjour etniopal : comme on prend la borne supérieure sur le segment la majoration de sur me semble inutile.

Bonjour luzak  ( et bonne année !)  
       J' n'avais pas vu le [0, x] !  

Pour la continuité à droite  en un point a je propose :
   On se donne   > 0 . La continuité de f en a entraine l'existence d'un réel r > 0 tel que f(x) f(a) +   pour x dans [a , a + r] .
Alors  g(a + r) = Sup{g(a) , Sup{ f(x) | x a + r}} Sup( g(a) , f(a) + ) g(a) +

salut

g(y) - g(x) = Sup {f(t) t y } - sup {f(t) t y}

or y --> x => [0, y] --> [0, x]

donc g est continue en x

....

!!!

Bonjour à tous,
Merci pour toutes vos réponses et bonne année à vous. Je viens juste de revenir de cours.
La réponse de carpediem est-elle vraiment juste et rigoureuse?
Je me rends compte en lisant vos démonstrations que dans l'énoncé il y a noté f de dans . N'est-on pas entrain de travailler avec +?
C'est vrai que le prof lui-même en donnant l'énoncé a écrit g(x)=sup pour t[0;x], sans dire ce qui se passe si x est négatif...

La continuité à gauche de g n'est peut être  pas si immédiate  que ça .

Soit a > 0 et  h(a) = Sup{ f(x) | x < a } .  Il s'agit de montrer que h(a) =  g(a) .
Comme  g(a) = Max(h(a),f(a)) il suffit donc de voir que f(a) est   h(a) .
Or pour n assez grand on a :  a - 1/n > 0  et f(a - 1/n) h(a)  donc f étant continue f(a) h(a) .

Bonsoir.