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continuité de l'exponentielle complexe

Posté par
romu 17-05-07 à 13:13

Bonjour,
je cherche à montrer la continuité de l'exponentielle complexe de \mathbb{R} dans S^1 : x \rightarrow e^{ix}.

En particulier, qu'elle est k-lipschitzienne, mais je n'arrive pas à déterminer ce réel k.

D'autre part, vu que il n y a aucune topologie précisée sur S^1,
j'en déduis que S^1 est muni de la topologie induite de la topo usuelle de \mathbb{C}.
Mais à quoi ressemble au juste un ouvert de S^1?

Merci pour votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 13:17

Bonjour romu

pour trouver ta constante de Lipschitz, il suffit de dériver ta fonction et de regarde le sup de son module (ce qui ne vas pas être très dur )

Un ouvert non trivial de l'ensemble d'arrivée serait je pense une réunion d'arcs privé de leur extrêmités.

Kaiser

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 13:47

Salut Kaiser,

Je ne savais pas qu'on pouvait dériver dans \mathbb{C},
je viens de visiter quelques pages webs à ce sujet suite à tes indications.

Mais d'habitude pour pouvoir dériver, on montre la continuité d'une fonction, il me semble.

Il se trouve que j'ai vu un résultat qui dit que f est de classe C^1 si et seulement si
Re(f) et Im(f) sont aussi de classe  C^1.
Vu que c'est le cas pour cos et sin, je peux donc dériver f\ : x \rightarrow \exp(i x).

Sinon en dérivant, je trouve |f'| \leq 2, et donc après, j'utilise le TAF pour conclure.

Merci pour ton aide Kaiser.

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 13:51

ah oui, c'est vrai, c'est un peu maladroit ce que j'ai dit !
donc il ne faut pas faire comme ça.
Il vaut mieux passer par le cosinus et le sinus et dire que ceux-ci sont des fonctions continues et même 1-lipschitziennes.
sinon, on a mieux : |f'|=1

Kaiser

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:26

humm, justement comment je peux montrer que cos est continue, je n'ai jamais vu ce résultat, je l ai toujours vu comme admis.

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:28

il n'y pas besoin de le démontrer : on le sait

Kaiser

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:34

Citation :
il n'y pas besoin de le démontrer : on le sait


comment ça? c'est une définition ou un axiome?

Posté par
Cauchyre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:39

Bonjour je m'incruste,

Tu définis le cosinus comment?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:39

quand je dis, "on le sait", c'est en fait "on l'admet" mais bon pour le montrer rigoureusement, il faut repasser par "la" définition du cosinus, soit avec les séries entières (je ne sais pas si tu sais ce que c'est), soit en disant qu'elle est solution d'une certain équation différentielle.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:40

salut Cauchy !

Posté par
Cauchyre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:43

Salut kaiser,

tu peux mettre des \ devant mes frac sur le sujet enveloppe supérieure stp?

Au fait tu sais quand on aura les dates pour l'oral de l'ENS?

Posté par
Roulianere : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:44

Salut,

vous etes admis à l'oral les gars ?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:48

Rouliane > oui !

Cauchy > en cherchant sur le site, j'ai vu que dates d'oral s'étalaient entre le 29 mai et le 1er juin. Mais je ne sais quand on n'aura les heures précises.


Kaiser

Posté par
Cauchyre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:51

Salut Rouliane,

sauf erreurs oui

Ok,c'est à Cachan qu'on le passe?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:52

Cauchy > normalement !

Posté par
Roulianere : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:52

ben franchement bravo à vous 2, l'ENS, whaaa !

C'est public les oraux ou pas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:56

aucune idée !
mais personnellement, ça m'étonnerait !

Posté par
Roulianere : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:56

tant pis ...

Posté par
Cauchyre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 14:58

Moi aussi je pense pas que ce soit public,déja que même les candidats savent pas trop comment ca se passe

Il y a pas un rapport kaiser,pour savoir un peu ce qu'on nous demande,d'ailleurs en math on peut tomber sur n'importe quoi?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:03

pour les rapports : ils disent qu'ils sont sur le site du département mais en fait, je crois qu'il n'y rien.
en math, le programme c'est mathématiques générales.

Kaiser

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:03

Félicitations à vous deux

Pour lé définition du cos et sin, je connais celle de côté adjacent sur hypothénuse, et côté opposé sur hypothénuse.

Je verrai les séries entières et les équa diff en juin ou juillet, je vais continuer  à admettre d'ici là que ces deux fonctions sont continues.

On a donc

|\cos'| = |-\sin| \leq 1

|\sin'| = |\cos| \leq 1

Donc cos et sin sont 1-lipschitziennes.

Donc f = \cos + i\ \sin est continue sur \mathbb{R}
car pour tout a \in \mathbb{R},

\lim_{x \rightarrow a, x \neq a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a, x \neq a} \cos(x) + i\ \lim_{x \rightarrow a, x \neq a} \sin(x) = \cos(a) + i\ \sin(a) = f(a).

Bon je vais essayer de voir maintenant pourquoi on a |f'|=1.

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:05

merci romu mais bon rien n'est joué !

Kaiser

Posté par
lafol Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:08

Citation :
C'est public les oraux ou pas ?

oui, c'est public, (en tous cas les oraux d'admission en1°année le sont) et on conseille souvent aux futurs candidats d'aller assister aux oraux l'année avant de se présenter, pour savoir à quoi s'attendre ....

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : continuité de l'exponentielle complexe. 17-05-07 à 15:11

Bonjour ;
On peut prouver que l'application \fbox{\mathbb{R}\to S^1\\x\to e^{ix}} est 1-lipschitzienne comme ceci :
3$\fbox{(\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2)\hspace{5}\hspace{5}|e^{ix}-e^{iy}|=|e^{i\frac{x+y}{2}}(e^{i\frac{x-y}{2}}-e^{-i\frac{x-y}{2}})|=2|sin(\frac{x-y}{2})|\le|x-y|} (sauf erreur)

Posté par
Cauchyre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:13

Salut lafol,

mais ceux de 3ème année c'est peut être pas pareil,et puis c'est rapé la pour y aller l'année d'avant

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:16

merci elhor_abdelali,

sinon j'ai trouvé :
|f'(x)| = |-\sin(x)+i\cos(x)| = |\cos(x+\frac{\pi}{2}) + i \sin(x+\frac{\pi}{2})| = |\exp(i(x + \frac{\pi}{2}))| = 1

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:23

juste une question , dans la correction d'elhor_abdelali,
pourquoi 2|\sin(\frac{x-y}{2})| \leq |x- y|   ?

Posté par
lafol Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:24

lu sur le site de l'ENS Cachan :

Citation :
TITRE III
MODALITÉS D'ORGANISATION DES CONCOURS
Article 7
Chaque concours comporte des épreuves écrites d'admissibilité ou l'examen d'un dossier et des épreuves d'admission orales et, le cas échéant, écrites ou pratiques, notées de 0 à 20 et affectées de coefficients.
Certaines épreuves de ces concours sont organisées dans le cadre de banques d'épreuves.
Article 8
Les épreuves écrites sont anonymes et se déroulent dans les centres d'écrit désignés par le recteur d'académie. Les épreuves orales d'admission sont publiques.Article 9
Les programmes des épreuves d'admissibilité et d'admission aux concours sont fixés par arrêté du ministre chargé de l'enseignement supérieur.

Posté par
lafol Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:25

romu : |\sin x|\leq |x|

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:27

ah bon?

Posté par
lafol Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:30

romu : fais un dessin avec la courbe de sin et les deux droites d'équation y = x et y = -x ....
Cauchy et Kaiser : encore plus clair :

Citation :
TITRE II
CONCOURS D'ADMISSION EN TROISIÈME ANNÉE
Art. 16. − Les concours d'admission en troisième année permettent de construire sur un site de l'ENS de
Cachan un cursus de quatre semestres dans la discipline déterminée par le nom du concours. Ce cursus conduit
à l'obtention d'un master. Il inclut ou non le suivi des modules de préparation à l'agrégation.
Les élèves sont recrutés par la voie d'un concours dans chacune des disciplines suivantes :
- mathématiques ;
[...]
Des épreuves écrites d'admissibilité, présentées par les candidats retenus à l'issue de la première sélection
sur dossier dite pré-admissibilité, sont organisées par l'ENS de Cachan dans un centre unique. Les épreuves
pratiques et orales d'admission sont publiques et se déroulent à l'Ecole normale supérieure de Cachan. Leurs
durées sont fixées par le jury.

Posté par
romure : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:31

oups désolé oui effectivement

Posté par
Roulianere : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:31

Merci lafol j'essaierai d'aller en voir quelques uns.

Posté par
lafol Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:38

comment tu feras pour reconnaître Cauchy et Kaiser ?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:39

lafol, Ok je ne savais pas !

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:39

Posté par
Roulianere : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:39

dès que j'entendrais " toutafé ! " j'aurai grillé Kaiser

Posté par
lafol Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:40

Cauchy et Kaiser, vous avez lu la lettre aux admissibles, sur le site ?

Posté par
kaiser Moderateurre : continuité de l'exponentielle complexe 17-05-07 à 15:44

Rouliane >
lafol> oui !

Kaiser


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