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continuité , dérivabilité...
Bonsoir , j'ai un solide exercices sur les fonctions :
Soit g la fonction de R dans R définie par :
g(0) = 0 et 
x 
0 ,
g(x) = x(1+x+sin(x)*sin(1/x))
1.Montrer que g est continue et dérivable sur R . Voici ma réponse :
1/x est une fonction usuelle continue sur son domaine de définition et sin(1/x) est la fonction composée de sin(x) et 1/x , or une fonction composée à partir de fonctions usuelles est continue sur sur ensemble de définition .
sin(x) est continue et un produit de fonctions continues donne une fonction continue sur l'ensemble de définition du produit .
1 et x sont aussi continus sur leur ensemble de définition , donc la somme de fonctions continues donne une fonction continue , donc 1+x+sin(x)*sin(1/x) est continue et x(1+x+sin(x)*sin(1/x)) est continue sur R .
Je peux appliquer le meme raisonnement pour la dérivabilité , que pensez vous de mes justifications , sont elles justes ?
merci
Bonsoir.
Ton raisonnement ne s'applique pas en x = 0 car 1/x n'est pas définie.
Tu dois prouver que :
oui mais il s'applique pour tout x différent de 0 tu es d'accord ?
facile de calculer la limite en x = 0 , la fonction étant g(x) = x(1+x+sin(x)*sin(1/x)) , quand x tend vers 0 , (1+x+sin(x)*sin(1/x)) tend vers 1 et vu qu'un produit est nul si l'un des facteurs est nul , la fonction tend bien vers 0 quand x tend vers 0 , mais la question c'etait :
montrer que g est continue et dérivable sur R , ce que j'ai écrit au 1er message est correct non , pq me demandes tu de prouver que la limite de g quand x tend vers 0 , c'est 0 ...
donc vu que g tend vers 0 quand x tend vers 0 , la fonction est bien continue et dérivable sur R , la démonstration est elle juste ?
Ensuite...
"et vu qu'un produit est nul si l'un des facteurs est nul" >> ce n'est pas cette propriété qu'il faut utiliser ; ici, on parle de limites
Tu montres ainsi que
Cela montre que la fonction est continue en 0.
Il te reste à montrer qu'elle est continue sur R-* et R+*
Et tu auras montré qu'elle est continue sur R.
Pour la dérivabilité en 0, reviens à la définition.
Salut , et bien quand x tend vers 0 , sin(x) tend vers 0 tu es d'accord ?
et pour sin(1/x) , quand x tend vers 0 , 1/x tend vers l'infini et vu que la fonction sinus est majorée par 1 et minorée par -1 , qu'on choisisse l'un ou l'autre , au final ça ferait 1*0 ou -1*0 donc sin(x)*sin(1/x) tend pour moi vers 0 .
Maintenant ce que je dis est peut etre pas rigoureux ou tt simplement faux ...
Ton argument n'est pas précis. On ne comprends pas quelle propriété du cours tu utilises. Dis plutôt que sin(x) tend vers 0 et sin(1/x) est borné.
d'accord , j'en conclus que ce que j'ai dit n'est pas rigoureux mais que l'idée y est 
, j'utiliserai donc le terme borné comme tu dis .
néanmoins tu me dis de démontrer que g est continue sur R- et R+ , je pense l'avoir fait dans mon 1er message avec les fonctions usuelles , ça me semble une bonne justification , non ?
A nouveau, en gros, c'est cela. Mais on ne sait pas sur quel ensemble tu te places. Tu parles d'ensemble de définition sans dire ce que c'est, etc...
ok , bon je formulerai ça moi meme ( car si tu m'écris tout c'est pas du jeu , faut que j'apprenne à bien rédiger par moi même et assumer mon manque de rigueur ) on verra ce qu'en dit la correction , j'attaque la seconde question , merci pour ton aide .
petite remarque néanmoins : c'est curieux qu'une fonction soit continue en un point où elle n'est pas définie...
pourtant sin(1/x) ne peut pas exister pour x = 0 ...
ah non ça va je viens de relire l'énoncé j'ai vu mon erreur
alors pour la dérivabilité tu m'as dit de m'en reporter à la définition , c'est chose faite :
une fonction est dérivable en a si la fonction f(x)-f(a) / x-a possède une limite en a .
pour 0 donc je peux dire que f(x) - f(0) / x - 0 est dérivable vu qu'on a montré qu'en 0 elle avait une limite égale à 0 , d'accord ?
et pour prouver qu'elle est dérivable sur R je dirai que vu que g est construire à partir de fonctions dérivables sur leur ensemble de définition , alors g est dérivable sur R .
ça va comme justification ?
Non.
g est dérivable sur R-* comme somme, produit et composée de fonctions dérivables.
g est dérivable sur R+* comme somme, produit et composée de fonctions dérivables.
Reste à montrer qu'elle est dérivable en 0.
Pour cela, examine si (g(x)-g(0))/(x-0) admet ou non une limite en 0. Laquelle ?
g(x)-g(0)/x-0 ça donne :
1+x+sin(x)*sin(1/x) et quand x tend vers 0 , je répondrai que la fonction g(x)-g(0)/x-0 admet 1 comme limite quand x tend vers 0 vu que x tend vers 0 , sin x tend vers 0 et sin(1/x) oscille entre -1 et 1 , et 0 * -1 ou 1 ça fait 0..., il reste 1 .
la fonction est dérivable .
oui je pense que ma réponse est juste j'ai vérifié graphiquement , j'attaque les 2 dernoères questions , elles sont courtes :
2)Etudiez la continuité de g' . Montrer en choisissant une suite qui tend vers 0 que g' n'est pas continue en 0 .
alors pour le calcul de g' je trouve ceci :
g' = (1+x+sin(x)+sin(1/x)) + x(1 -(sin(x)/x²)*cos(1/x)+cos(x)*sin(1/x))
là je crois que vous etes d'accord ? 
la dérivée on peut pas l'écrire plus simplement n'est ce pas ? j'ai matté les formules de trigo et apparemment on peut pas simplifier mon résultat ..
en fait je dois trouver une suite qui tend vers 0 pour montrer que g' n'est pas continue en 0 , quelqu'un aurait il une idée sur les caractéristiques de cette suite ( sans me la donner ) ?
merci
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