bon la fonction qui ne semble pas marcher c'est f(x)=(x+1) * racine carrée de (1-x²)

Bonjour,

Ensemble de définition
Pour que f(x) soit définie, il faut que le radicande soit positif, donc que -1 =< x =< 1.
Ensemble de définition : [-1;+1]

Continuité.
f est continue sur son ensemble de définition comme produit et composition de fonctions continues.

oui ça ok mais pour la dérivabilité ?

Dérivabilité
La dérivabilité ne s'examine que sur des intervalles ouverts, c'est-à-dire du type ]a;b[
(Il existe les notions de dérivable à droite en a et à gauche en b, mais c'est spécifique, et nécessite une étude particulière).
L'ensemble de dérivabilité est donc "au maximum" ]-1;1[. On dit qu'il est inclus dans ]-1;1[.
En fait, l'ensemble de dérivabilité est ]-1;1[ par produit et composition de fonctions dérivables.
Ici, il faut faire attention à la fonction "racine carrée", qui n'est dérivable que sur ]0;+oo[. Comme, sur ]-1;1[, 1-x² reste dans cet intervalle (je veux dire : ne s'annule pas), c'est bon.

"oui ça ok mais pour la dérivabilité ?"

Euh...
(1) de rien
(2) deux minutes

bon je vais étudier ça et je vais voir ce que je ne pige pas
Merci du coup de pouce

Je t'en prie.

bon j'ai étudié ça et ça passe mieux qu'avant donc merci par contre, si je m'interesse à la fonction f(x) =  racine de ln(1+x), avec les théorème, je trouve que cette fonction est continue sur son ensemble de définition qui est [0,+inf[ mais je trouve qu'elle est dérivable sur ]o; + inf[ pourtant dans l'exemple que j'ai sous les yeux, pour trouver sa dérivabilité en 0, ils passent par le taux d'accroissement, d'où ma question, pourquoi passer par le taux d'accroissement pour trouver sa dérivabilité sachant que j'ai montré qu'elle n'était pas dérivable en 0 ?

Elle est dérivable sur ]0;+oo[ comme composée de fonctions dérivables (faire attention à la fonction racine en 0).

Elle n'est pas dérivable à droite en 0, car n'admet pas de limite finie quand x tend vers 0 par valeurs supérieures.

Nicolas

donc si je comprends bien, pour prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en un point, il faut montrer
qu'elle n'est ni dérivable à gauche ni dérivable à droite ?

Pour en revenir à mon exemple, elle n'est pas dérivable en 0- (avec la dérivabilité des fonctions composées) et elle n'est pas non plus dérivable à droite avec le taux d'accroissement DONC on peut en déduire qu'elle n'est pas dérivable en 0 ?

Bon par contre, si on avait prouver que en 0+ cette fonction était dérivable, on aurait dit quoi dans ce cas : non dérivable en 0- mais dérivable en 0+ ou alors non dérivable en 0 directement ?

Quel chef ce Nicolas_75

Il y a peut-être plusieurs écoles à ce sujet. Voici ma compréhension. Si certains veulent critiquer, qu'ils n'hésitent pas.

La dérivabilité tout court ne se conçoit que pour les points d'un intervalle ouvert de type ]a;b[ (c'est-à-dire tels qu'il existe des "x" un peu avant et un peu après). En ce sens, la dérivabilité en 0 d'une fonction définie sur [0;+oo[ n'a pas de sens.
Soit donc x0 un point d'un intervalle ouvert ]a;b[ inclus dans le domaine de définition de f.
f est dérivable en x0 de nombre dérivée d (réel) ssi :


f est dérivable à droite en x0 appartenant à [a;b[ inclus dans le domaine de définition, de nombre dérivé à droite d, ssi :


f est dérivable à gauche en x0 appartenant à ]a;b] inclus dans le domaine de définition, de nombre dérivé à gauche d, ssi :


On a :
dérivable => dérivable à gauche et dérivable à droite
Mais la réciproque n'est pas vraie. Par exemple, la fonction valeur absolue est dérivable à gauche et à droite en 0, mais elle n'est pas dérivable "tout court" en 0.

Nicolas

bon ok merci Nicolas_75

Je t'en prie.