Bonjour Samy!

D'abord, pour la ifférentielle, tu calcules d'abord les dérivées partielles (x,y,z)en tout point différent de 0. Puis tu les calcules au point (x,y,z)=(0,0,0).

Je n'ai pas fait le calcul, mais très certainement, vu la fonction, les dérivées partielles vont être continues en tout point différent.Comme tu as:
-la continuité de f
-l'existence des dérivées partielles
-le continuité des dérivées partielles,
ta fonction est donc différentiable en tout point différent de 0.

*Etude en 0:

Tu supposes que ta fonction est différentiable en 0.
Alors, à l'aide de la définition de la différentiabilité,tu as:
f(a+h)=f(a)+ Df(a)+(h)

Ici, tu regardes donc si la limite pour h=0 de (f((0,0,0)+(h1,h2,h3))-f(0,0,0)-Df(0,0,0))/ h  = 0 ?

Ici, tu prends donc pour h la norme: h= (h1²+h2²+h3²)

Si oui, c'est différentiable, sinon, ça ne l'est pas.

Voilà pour la différentiabilité.

Je regarde pour la continuité...

***Pour la continuité

Je pense que ton raisonnement est tout à fait juste.
Personnellement, je ne passe jamais par les coordonnées sphériques, mais j'arrive au même résultat par encadrement, que je te joins en-dessous.

Voilà voilà

Merci pour ton aide
Pour les différentielles, j'avais commencé à faire ce que tu m'as dis et je me trouve avec un problème en (0,0,0) vu qu'au final j'obtiens ( si j'ai pas fais d'erreur ) qui n'est pas différentiable en 0 ceci veut donc dire que la fonction est continue sur et différentiable sur ? ou je me suis trompé quelquepart ???
Merci beaucoup

Re,

Pour les différentielles, tu n'as pas fait d'erreur: on obtient bien, au point (0,0,0) (h1²+h2²+h3²).

Mais ensuite, une fois ce résultat trouvé, pour savoir si c'est différentiable en (0,0,0), il y a juste à calculer la limite de ce résultat lorsque (h1,h2,h3)=(0,0,0).

Ici, tu trouves bien que cette limite est égale à 0.

La fonction est donc continue ET différentiable sur R.

Voilà voilà

Le fait que la fonction racine n'est pas différentiable en 0 ne joue aucun rôle alors Je cherchais vraiment la ptite bête Merci pour ton aide

Re, re

"Le fait que la fonction racine n'est pas différentiable en 0 ne joue aucun rôle alors"->Attention, ici,oui, paske pour le résultat qu'on obtient, c'est la LIMITE que l'on cherche,donc le fait que ça ne soit pas différentiable importe peu...

Mais dans certains cas,tu obtiens une racine, et ce n'est pas différentiable:par exemple la fonction f suivante:
f(x,y)= (x^3)/((x²+y²))

Lorsque tu cherches la différentiabilité de cette fonction,c'est non différentiable en 0, et il y a aussi une racine au résultat( je n el'ai plus en tête là...)

Tout ça pour dire que ne t'arrêtes pas au fait qu'il y ait une racine au non,cela ne veut rien dire sur la différentiabilité de la fonction...

Voilà voilà

Je ne sais pas pourquoi le fait de me retrouver avec une racine m'avait stoppé Y a desfois je cherche la tite bête là où y en a pas
Merchi beaucoup pour tes explications supplémentaires.

De nada