Hello, peut être qu'il y a plus simple. phi est croissante, donc en tout point elle admet une limite à gauche et une limite à droite.

Je m'occupe de ce qu'il se passe à gauche :
Tu peux montrer facilement que (pas besoin de continuité)
lim(x->a-) phi(x) = L <= phi(a)

Pour l'inégalité inverse :
Comme f est continue, phi(a) est atteint par f en un point b de [0,a].
On pose b, le 1er point tel que f(b) = phi(a) (pourquoi il existe?)
1) Si b =/= a, alors b < a et phi(b) = f(b) et donc L >= phi(b) = phi(a)
2) Si b = a, alors pour tout x < a, f(x) < f(a) et comme f est continue en a, si e > 0  il existe h > 0 tel que a-h <= x <= a entraine f(x) >= f(a) - e
Par conséquent phi(a-h) >= f(a) - e et donc L >= f(a) - e = phi(a) - e

Merci

pour la limite à gauche je ne comprends pas pourquoi il n'y a pas besoin de la continuité de f :

si je prends f qui vaut 0 sur [0;1/2[ et 1 sur [1/2;1] alors la limite à gauche en 1/2 de phi c'est 0 non ? Et phi(1/2) = 1.

J'étudie la limite à gauche dans mon post
Dans ton exemple

C'est bien ce que je disais !

Salut,

Voici une autre proposition :

On suppose que n'est pas continue



On pose et on construit la suite qui vérifie avec pour tout

Ainsi on a pour tout avec

Soit la sous-suite de telle que pour tout , . On la suppose non-finie, si elle l'est on prend l' extractrice  des valeurs inférieure à

Soit

le TVI nous dit qu'il existe tel que , or il existe tel que donc d'où la contradiction.

J'ai essayé de chercher plus simple que toi lionel52 mais pas moyen, de plus je n'ai pas tout compris ton raisonnement

salut

pour mousse42 : pour "détailler" 'légèrement) ce que dis lionel52 ...

soit f continue de [0, 1] dans R

soit s de [0, 1] dans R définie par

1/ (à montrer) donc s est croissante

2/ donc s admet une limite à gauche et à droite en tout point (à justifier)

3/ à gauche : il est évident que s(x) --> s(a) quand x --> a^- (toujours d'après la propriété utilisée en 1/)

4/ à droite : c'est là qu'il faut utiliser la continuité de f

oui, justement j'ai le même soucis que filoumath, on peut aoir un saut de à , dans les deux cas, il me semble que l'on doit utiliser la continuité

ben non !!

le sup sur [0, a[ est le sup sur [0, a] !!! (que f soit continue ou non) ...

J'essaie de comprendre :

La croissante de nous donne l'existence d'une limite à gauche et à droite.

La propriété de la borne sup nous permet d'écrire que :


On traite le cas et montrons que l'inégalité stricte est fausse

Soit , il existe

Or le TVI nous dit qu'il existe tel que donc   avec  , contradiction avec   d'où

idem avec l'autre limite

je me trompe ou quoi?

oui ok donc f est continue est nécessaire !!

Bonjour !
On a .
Si il est facile de voir (en utilisant la continuité) que est constante sur un voisinage de .
Si la continuité permet de majorer par sur un voisinage de .

Bonjour,

je reprends à la réponse de lionel52 d'hier.

Merci : en effet pour la limite à gauche c'est juste la croissance du sup pour l'inclusion car [0;a[ est inclus dans [0;a].

Ensuite je pense avoir compris l'idée de se placer "tout à gauche des éventuelles parties constantes de phi".

Pour l'existence de b du coup : l'ensemble A des x tels que f(x)=phi(a) est non vide par la propriété de la borne atteinte appliquée sur l'intervalle fermé [0;a] et à la fonction continue f. Il admet donc un inf qu'on note b. Reste à voir que c'est un min :

Si ce n'est pas le cas alors f(b) < phi(a) (on n'a pas f(b)>phi(a) car pour tout x dans A : b<=x donc f(b)<=phi(b)<=phi(x)=phi(a) )

En posant e=(phi(a)-f(b))/2 > 0 , comme f est continue en b, il existe h>0 tel que :
f(b+h)<f(b)+e = (phi(a)+f(b))/2<phi(a)

Alors b+h est un minorant de l'ensemble A. En effet s'il existe un x de A tel que x<=b+h, alors f(x)=phi(a) donc phi(x)>=phi(a) donc phi(a)<=phi(x)<=phi(b+h) car phi est croissante mais on a dit que f(b+h)<phi(a)

Donc b+h est un minorant de A qui est plus grand que b = inf(A).

Tout ce que je dis est bien correct ?

Merci encore je vais essayer de la refaire plusieurs fois en détaillant bien toute la suite que je pense avoir comprise et reviens si il y encore du flou.

En relisant plusieurs fois le message de lionel52, je viens de "décoder" , ce qu'il veut dire.

Il dit simplement qu'on peut établir ces inégalités sans la continuité : , c'est tout ...

Si on fait sans, pourquoi en parler? ce qui est source d'incompréhension