Salut,


|sin(x+y)/ (x+y) - 1| <= (x+y)²

je te laisse conclure !

A) si tu considère la norme dans [R², [[(x,y)+]] = [x] + [y]
où [x] signifie valeur absolue de x.
on fait un développement limité de sin(x+y)
sin(x+y) = x +y - (x+y)^3 /3! + (x+y)^3*E(x,y)
où E(x,y) tends vers 0 quand (x,y)--> 0.
ainsi [sin(x+y)/(x+y) - 1] = [(x+y)²/3! + (x+y)²*E(x+y)]
D'après l'inégalité triangulaire :
[sin(x+y)/(x+y) - 1] < [(x+y)]²/3! + [(x+y)]²*[E(x,y)]
[sin(x+y)/(x+y) - 1] < ([x]+ [y])²/3! + ([x]+ ([y])² * [E(x,y)]
[sin(x+y)/(x+y) - 1]<[[(x,y)]]²/3!+[[(x,y)]]²*[E(x,y)]
[sin(x+y)/(x+y) - 1] < [[(x,y)]]²(1/3! + [E(x,y)])
quand [[(x,y)]] ---> 0 , [sin(x+y)/(x+y) - 1] ---> 0
D'où quand (x,y) ---> 0 , sin(x+y)/(x+y) ---> 1

Bilan : sin (x+y) / x + y est continue sur [R* car 1/x+y et sin (x+y) sont continue sur [R*

On peut prolonger cette fonction en 0 car lim sin(x+y)/x+y --->1 quand x ---> 0.
Voici la fonction prolongement de sin(x+y)/x+y

f(x,y) = 1 quand (x,y) = (0,0)
f(x,y) = sin(x+y) / x+y sinon