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continuité et image réciproque
Bonjour, j'essaye de démontrer que 1) => 3) mais je n'y arrive pas 
. Est ce que vous pourriez m'aider?
J'aimerais aussi réussir à faire le lien entre 2) et 3). Je sais démontrer 1) => 2). Comment passer de 2 à 3? ce ne serait pas direct par hasard?
1) f est continue de R dans R.
2) l'image reciproque par f de tout ouvert de IR et un ouvert de R
3) L'image reciproque par f de tout fermé de IR et un fermé de R
Je sais que si je prends F fermé de R, on pose une suite y_n de F qui converge vers y dans F par définition. Ensuite je prends l'inverse : f^-1(y_n) = x_n.
mais je ne sais pas quoi en faire.
merci!
Bonjour !
Pour passer de 2) à 3) il suffit de savoir comparer les images réciproques d'un complémentaire et le complémentaire d'une image réciproque : il suffit de s'y mettre.
.........................
Pour montrer directement que 1) implique 3) tu t'y prends de la mauvaise façon.
Il faut partir d'un fermé et montrer que son image réciproque
est un fermé.
Donc il faut partir de , point adhérent à
(limite d'une suite
d'éléments de
) et montrer qu'il est dans
.
Par conséquent poser , montrer que la limite est dans
(facile...) et en déduire que
en utilisant la continuité en
.
sur ce que tu dis, on a je crois :
f^-1 (U^c) = f^-1(U) ^c
Mais pourquoi j'en ai aucune idée... avec quelques exemples ça fonctionnait...
Pour la petite démonstration merci! Pourrais je simplement demander pourquoi a t-on que a \in A? En effet :
On a une suite y_n qui tend vers y dans B. On prend ensuite l'image réciproque de y... qui existe puisque y est dans B. Mais pourquoi l'image réciproque serait la limite de la suite de départ? Où intervient la continuité?
merci
Mais pourquoi j'en ai aucune idée... avec quelques exemples ça fonctionnait...
j'aimerais bien le seul truc qui coince c'est que je n'ai aucune idée comment manipuler ces ensembles... si vous pouvez m'orienter je peux essayer mais là honnêtement j'ai rien...
bon pour la premiere demonstrtion je suis tombé dessus par hasard dans un livre. Il reste encore ma deuxième question si vous voulez bien 
je reformule la question ayant réfléchie entre temps dessus:
On veut montrer que si f est continue alors la pré image d'un fermé est fermé.
On prend une suite a_n dans le départ, on lui fait correspondre b_n dans l'arrivé.
a_n -> a. On suppose par absurde que a n'est pas dans A ensemble de départ.
Et là je ne sais pas quoi faire. La continuité nous dirait que si on prend une boule autour de a, f(B(a) ) est dans une boule autour de b...
soit f : X --> Y et F un fermé de Y
soit E = f-1 (F) et (x_n) une suite d'éléments de E convergeant vers a 
X
f est continue donc la suite f(x_n) converge vers f(a)
or F est fermé donc f(a) F
...
fermé,
.
Soit une suite d'éléments de
qui converge vers
.
Si la suite
est formée d'éléments de
(
).
est continue en
, don
converge vers
.
est fermé donc
et, du coup,
.
.............................
Pour les complémentaires il suffit de savoir que : si tu ne le sais pas, tu le démontres et tu fais un effort pour le mémoriser.
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