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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Continuité fonction dans evn

Posté par
bouri
13-02-24 à 15:35

Bonjour à tous,

Soit f une fonction de E dans F avec E et F des espaces vectoriels normés.
Si E et F sont de dimension finie, la convergence de f en un point a est la même selon toutes les normes car elles sont équivalentes.
Mais si E est de dimension infinie (et F de dimension finie), peut-on trouver un contre exemple ?
Et si F est de dimension infinie (et E de dimension finie), peut-on trouver un contre exemple ?
Je pensais à l'espace des fonctions continues sur [0,1] comme espace vectoriel normé de dimension infinie, avec les normes 1 et infinie qui ne sont pas équivalentes mais je n'arrive pas à exprimer une fonction qui a une limite pour une norme et pas une autre.

Merci d'avance

Posté par
GBZM
re : Continuité fonction dans evn 14-02-24 à 15:46

Bonjour,
Soit \varphi:C([0,1])\to \mathbb R la fonction définie par \varphi(f)=f(1). Elle est continue pour la norme infinie et pas pour la norme 1.

Posté par
bouri
re : Continuité fonction dans evn 14-02-24 à 16:55

Super, merci !
Bonne journée



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