Bonjour,

Pour 1b/ regarder le cas où x=y,  il doit déjà  au moins y avoir continuité dans ce cas là.

Dans la question 1/b)  Montrer que la fonction g associée n'est pas continue en (0,0)

Quand x=y, on a 2xsin(1/x)-cos(1/x)

donc quand x tend vers 0, lim 2xsin(1/x) - cos(1/x)
On a -1≤sin(1/x) ≤ 1 et -1≤cos(1/x) ≤ 1
donc -2x + 1 ≤ 2xsin(1/x)-cos(1/x)≤2x-1
Quand x tend vers 0
lim -2x+1 = 1 et lim 2x-1= -1
On ne peut pas conclure..
Je dois montrer que g n'est pas continue en (0,0) mais la je ne n'arrive a rien prouver..
Pouvez vous m'éclairer s'il vous plaît ?

Quand , n'a pas de limite, et l'autre terme tend vers . Donc dans ce cas g n'a pas de limite en (0,0).

Tout simplement...
Je m'embêtais pour rien. Mais comment prouver que quand x tend vers 0, lim cos(1/x) n'admet pas de limite ?

Pour la question 2/ On suppose maintenant que la fonction f est de classe C1  sur I. Montrer que g est continue dans I x I

Comme ce qui n'admettais pas de limite était f'(x) maintenant qu'on admet que f est C¹, c'est-à-dire que f est continue et que sa dérivée aussi
Donc g(x,y) = (f(x) -f(y)) / x-y si x différent de y et f'(x) si x=y

Si x différent de y alors g est continue car g est composé de la fonction f et le dénominateur ne s'annule jamais puisque x différent de y donc continue
Et  f'(x) si x=y est continue puisque f est de classe C¹ g est continue

Donc g est continue dans I x I
Est ce que je vais erreur ?

Quand , oscille entre 1- et +1 sur des intervalles dont l'amplitude tend vers 0. Donc si on en revient aux epsilons...

Ensuite il faut dire que si f est C1 sur I c'est que, d'après ce qui  précède,  0I.
On échappe donc aux cas de non continuité déjà vus. Alors soit xy et c'est ce que vous avez dit, soit x=y et on retrouve f.

Pardon, j'ai écrit une bêtise, il faut évidemment lire

Quand , oscille entre 1- et +1 sur des intervalles dont l'amplitude tend vers 0. Donc si on en revient aux epsilons...

Pas de soucis, cela arrive a tout le monde.
Je vous remercie pour votre aide.

Donc si je reprends tout,

1b) On a quand x tend vers 0, lim 2xsin(1/t) - cos(1/x) n'admet pas de limite puisque cos(1/x) n'admet pas de limite car pour x=1/(2k*π) on a cos(1/x)=1
pour x=1/(π/2+2k*π) on a cos(1/x)=0 deux limites différentes quand x tend vers 0 donc cos(1/x) n'ademet pas de limite
Donc g n'est pas continue en (0,0)

2/ On suppose maintenant f de classe C¹ comme le point (0,0) posait problème, on en déduit que 0 I.
De plus,  quand xy, g est une fonction composée de fonction continues et son dénominateur ne s'annule pas donc g est continue
Quand x=y, g(x,y) = f'(x) comme on a supposé f C¹, par définition g est continue
On en conclut donc que g est continue sur I x I

Je crois que pour 1b , en reprenant ce que j'ai dit (sans l'histoire des epsilons) nul ne vous pinaillera si vous affirmez simplement que cos(1/x) n'admet pas de limite en 0.
Mais bon ce que vous dites n'est pas faux.

salut

pour cos (1/x) il suffit de prendre

et alors

on peut prendre plus simplement 1 au lieu de 2

Bonsoir

On pourra remarquer que _{sauf erreur de ma part bien entendu}

Bonjour,
je vous remercie tous pour votre aide

C'est avec plaisir tintin22