Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Continuité fonction plusieurs variables

Posté par
tintin22 10-03-24 à 19:24

Bonjour,
Je galère encore sur un exercice sur la continuité de fonction de plusieurs variables... Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Soient n et fn, la fonction de 2 dans définie par

fn(x,y)= \frac{|xy|^n}{x²+y²} si (x,y)0 et 0 sinon

a) Discuter suivant les valeurs de n de la continuité de f
b) Étudier et tracer kes lignes de niveaux 0, 1/2 et 2 de la fonction f1

Maintenant mes recherches.

a) Discuter suivant les valeurs de n de la continuité de f

Je remarque que si n=0 alors le numérateur sera égale à 1
Donc f0= 1/x²+y² si (x,y)0 et 0 sinon
Or je remarque que lim f(x,0) = 0 quand x tend vers 0 et lim f(x,-x)=1/2 quand x tend vers 0
On obtient de limite différente donc f0 n'a pas de limite en 0 donc f0 n'est pas continue en (0,0)

Je remarque que si n=1 alors le numérateur sera égale à |xy|
Donc f1= |xy|/x²+y² si (x,y)0 et 0 sinon
Par la même méthode que n=0,  je remarque que lim f(x,0) = 0 quand x tend vers 0 et lim f(x,-x)=1/2 quand x tend vers 0
On obtient de limite différente donc f1 n'a pas de limite en 0 donc f1 n'est pas continue en (0,0)
Et maintenant on étudie pour n2
On passe en coordonées polaires donc fn(rcos,rsin)
fn= \frac{|rcos(\theta)rsin(\theta)|^n}{r²(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))} = \frac{|r^{2n}(\cos^2(\theta) + \sin^n(\theta)|}{r^2}  or n2 donc rn r4
Donc lim \frac{|r^{2n}(\cos^2(\theta) + \sin^n(\theta)|}{r^2} = lim r^{2n-2}(\cos^n(\theta)+\sin^n(\theta))= 0 quand r tend vers 0 et quelconque
Donc quand n2, f a une limite en (0,0) égale à 0 en (0,0), f = 0 donc f est bien continue sur

b) Étudier et tracer kes lignes de niveaux 0, 1/2 et 2 de la fonction f1

f1= |xy|/x²+y² si (x,y)0 et 0 sinon
Les lignes de niveaux c'est f(x,y) = k où k est la ligne de niveau correspondante

Donc f1= \frac{|xy|}{x²+y²}=0 donc x=0 ou y=0 donc la ligne de niveau 0 represente les axes de mon graphe

Et c'est la que je bloque je n'arrive pas à calculer les lignes de niveaux 1/2 et 2
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité fonction plusieurs variables 10-03-24 à 21:02

Bonsoir

\boxed{a)} Pour \Large\boxed{n\geqslant2}, on a \Large\boxed{\left|f(x,y)\right|\leqslant\frac{|xy|^{n-1}}{2}~}.

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 10-03-24 à 21:09

salut

ne pas oublier les parenthèses !!

si n = 0 alors f(x, y) = 1/(x^2 + y^2)

quand x et y tendent vers 0 il est évident que f(x, y) tend vers +oo !!

ok pour les autre cas


f(x, y) =  \dfrac1 2 \iff x^2 - 2|xy| + y^2 = 0 \iff (x \pm y)^2 = 0 \iff ... distinguer les cas nécessaires ...

f(x, y) = 2 \iff 2x^2 - |xy| + 2y^2 = 0 \iff 3x^2 + 3y^2 + (x \pm y)^2 = 0 et il est facile de conclure ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité fonction plusieurs variables 10-03-24 à 21:17

\boxed{b)} \Large\boxed{f_1(x,y)\leqslant\frac{1}{2}} ...

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 11-03-24 à 19:37

Bonjour, dans votre message,

carpediem @ 10-03-2024 à 21:09


f(x, y) =  \dfrac1 2 \iff x^2 - 2|xy| + y^2 = 0 \iff (x \pm y)^2 = 0 \iff ... distinguer les cas nécessaires ...

f(x, y) = 2 \iff 2x^2 - |xy| + 2y^2 = 0 \iff 3x^2 + 3y^2 + (x \pm y)^2 = 0 et il est facile de conclure ...

Vous me dites distinguer les cas. Je suis d'accord mais je ne comprends pas en quoi cela m'aide a tracer les lignes de niveaux .
Pour tracer les lignes de niveaux, j'ai besoin d'une équation de la forme y= ...
Or, je ne vois pas en distinguant les cas comment cela va apparaitre...
Pour la ligne de niveau 1/2
\frac{|xy|}{x²+y²}= \frac{1}{2}  \iff |xy| = \frac{1}{2}(x²+y²) \iff y² = 2|xy| - x²
Mais j'ai du y de chaque côté de l'égalité et je ne sais pasa comment m'y prendre pour l'avoir que de un côté et avoir quelque chose de la forme y= .....

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 07:42

une somme de carré est nulles quand les termes sont nuls

donc la deuxième ligne de niveau est vide ... comme le montre elhor_abdelali

pour détailler la première :

x^2 -2 |xy| + y^2 =\left\lbrace\begin{matrix} x^2 - 2xy + y^2&si &xy \ge 0 \\ x^2 + 2xy + y^2&si &xy \le 0 \end{matrix}\right.

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 17:22

En réfléchissant, je pense que mes lignes de niveaux enfin au moins celle de 1/2 sera un cercle car comme vous me l'aviez dis

carpediem @ 12-03-2024 à 07:42


pour détailler la première :

x^2 -2 |xy| + y^2 =\left\lbrace\begin{matrix} x^2 - 2xy + y^2&si &xy \ge 0 \\ x^2 + 2xy + y^2&si &xy \le 0 \end{matrix}\right.

Si xy0 alors on a x^2+y^2 =2xy
Ici on a une équation de cercle avec un rayon égale à \sqrt{2xy}

Si xy0  alors on a x^2+y^2 =-2xy
Ici on aurait un rayon négatif ce qui n'est pas possible donc la ligne de niveau 1/2 est égale au cercle centré en (0,0) de rayon \sqrt{2xy}

Vous me dites aussi que
carpediem @ 12-03-2024 à 07:42

une somme de carré est nulles quand les termes sont nuls

donc la deuxième ligne de niveau est vide ... comme le montre elhor_abdelali
Vous parlez de la ligne de niveau où f(x,y) = 2 ?
Si oui, je ne comprend pas pourquoi ? Et si cela vient du fais
elhor_abdelali @ 10-03-2024 à 21:17

\boxed{b)} \Large\boxed{f_1(x,y)\leqslant\frac{1}{2}} ...
comment puis je le prouver car j'ai aucune idée de démonstration pour y parvenir ...
Sinon j'utilise la même méthode que pour la ligne de niveau 1/2

On a \frac{|xy|}{x^²+y^²}= 2 \iff |xy|=2x^2+2y^2 \iff \frac{|xy|}{2}=x^2+y^2
Donc si  xy0 alors on a x^2+y^2 =\frac{xy}{2}
Ici on a une équation de cercle avec un rayon égale à \sqrt{\frac{xy}{2}}

Si xy0  alors on a x^2+y^2 =-\frac{xy}{2}
Ici on aurait un rayon négatif ce qui n'est pas possible donc la ligne de niveau 2 est égale au cercle centré en (0,0) de rayon \sqrt{\frac{xy}{2}}

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 20:55

quand même !!

x^2 + y^2 = 2xy \iff (x - y)^2 = 0 \\ \\ x^2 + y^2 = -2xy \iff (x + y)^2 = 0

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 23:05

Nan mais oui je me suis compliqué la vie avec mon histoire de cercle la.....
(x+y)2= 0 me donne la droite d'équation y= -x
Et (x-y)2=0 me donne la droite d'équation y=x
Donc c'est deux droites me donne ma ligne de niveau 1/2

Donc pour la ligne de niveau 2 on a
Si xy0,
x2+y2-xy=0
Et la seule fois où c'est vrai est le point (0,0)

Et si xy0,
x2+y2+xy=0
Celle si a une unique  solution le point (0,0) car une somme de deux carrés ne peut pas être négatif

Donc la ligne de niveau 2 est égale au point (0,0)
Je ne suis pas sûre de moi, mais je pense avoir compris.
Dites moi si je fais fausse route s'il vous plaît ?
Je vous remercie en tout cas pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 23:38

carpediem @ 12-03-2024 à 07:42

x^2 -2 |xy| + y^2 =\left\lbrace\begin{matrix} x^2 - 2xy + y^2&si &xy \ge 0 \\ x^2 + 2xy + y^2&si &xy \le 0 \end{matrix}\right.
il y a une condition sur le signe de xy !!

elhor_abdelali @ 10-03-2024 à 21:17

\boxed{b)} \Large\boxed{f_1(x,y)\leqslant\frac{1}{2}} ...
donc peut-on avoir 2 ?

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 11:01

Oui bien sûre je l'ai juste pas écrit mais
Si xy0  on a(x-y)2=0 donc on obtient y=x
Et si xy0
On a (x+y)2=0 donc on obtient y=-x

Par contre je ne sais pas comment montrer que f(x,y) 1/2....
Donc oui si c'est vrai bien sûre que la ligne de niveau 2 est vide. Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer f(x,y) 1/2

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 13:27

(x \pm y)^2 \ge 0 \Longrightarrow \mp 2xy \le x^2 + y^2 \iff \dfrac {\mp xy } {x^2 + y^2} \le \dfrac 1 2

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 15:28

Oui tout simplement, je cherche compliqué alors que c'est tout simple.... Excusez moi ..
Donc si je reprends la question b

quand f(x,y) = 0
La ligne de niveau 0 est représentée par y=0 et x=0

Quand f(x,y) = 1/2
On a 2 cas
quand xy0 c'est à dire x<0 , y<0 et x>0 et y>0
on obtient y=x
quand xy0 c'est à dire x<0 , y>0 et x>0, y<0
on obtient y=-x
Donc la ligne de niveau 1/2 est representée par les fonction y=x et y=-x

Quand f(x,y)=2
La ligne de niveau est égale à car f(x,y) 1/2

Donc ci je les trace j'obtiens (voir image)

Est-ce-que je me suis encore trompé ?
En tout cas, je vous remercie de m'aider, c'est super gentil de votre part.

Continuité fonction plusieurs variables

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 17:57

non c'est bon mais attention :

Citation :
Donc la ligne de niveau 1/2 est représentée par les fonction y=x et y=-x
ne veut pas dire grand chose

la ligne de niveau 1/2 est (l'union des ensembles) \{ (x , y) \in \R^*^2  /  y = x \}\cup \{ (x, y) \in \R^*^2  /  y = -x \}

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 18:16

D'accord, je ferrai attention, les prochaines fois.
Je vous remercie grandement de votre aide.
Bonne continuation a vous.

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 19:24

merci et à toi aussi


Rechercher
Menu
Espace membre
29 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1719 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !