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Continuité fonction plusieurs variables

Posté par
tintin22 10-03-24 à 19:24

Bonjour,
Je galère encore sur un exercice sur la continuité de fonction de plusieurs variables... Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Soient n et fn, la fonction de 2 dans définie par

fn(x,y)= \frac{|xy|^n}{x²+y²} si (x,y)0 et 0 sinon

a) Discuter suivant les valeurs de n de la continuité de f
b) Étudier et tracer kes lignes de niveaux 0, 1/2 et 2 de la fonction f1

Maintenant mes recherches.

a) Discuter suivant les valeurs de n de la continuité de f

Je remarque que si n=0 alors le numérateur sera égale à 1
Donc f0= 1/x²+y² si (x,y)0 et 0 sinon
Or je remarque que lim f(x,0) = 0 quand x tend vers 0 et lim f(x,-x)=1/2 quand x tend vers 0
On obtient de limite différente donc f0 n'a pas de limite en 0 donc f0 n'est pas continue en (0,0)

Je remarque que si n=1 alors le numérateur sera égale à |xy|
Donc f1= |xy|/x²+y² si (x,y)0 et 0 sinon
Par la même méthode que n=0,  je remarque que lim f(x,0) = 0 quand x tend vers 0 et lim f(x,-x)=1/2 quand x tend vers 0
On obtient de limite différente donc f1 n'a pas de limite en 0 donc f1 n'est pas continue en (0,0)
Et maintenant on étudie pour n2
On passe en coordonées polaires donc fn(rcos,rsin)
fn= \frac{|rcos(\theta)rsin(\theta)|^n}{r²(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta))} = \frac{|r^{2n}(\cos^2(\theta) + \sin^n(\theta)|}{r^2}  or n2 donc rn r4
Donc lim \frac{|r^{2n}(\cos^2(\theta) + \sin^n(\theta)|}{r^2} = lim r^{2n-2}(\cos^n(\theta)+\sin^n(\theta))= 0 quand r tend vers 0 et quelconque
Donc quand n2, f a une limite en (0,0) égale à 0 en (0,0), f = 0 donc f est bien continue sur

b) Étudier et tracer kes lignes de niveaux 0, 1/2 et 2 de la fonction f1

f1= |xy|/x²+y² si (x,y)0 et 0 sinon
Les lignes de niveaux c'est f(x,y) = k où k est la ligne de niveau correspondante

Donc f1= \frac{|xy|}{x²+y²}=0 donc x=0 ou y=0 donc la ligne de niveau 0 represente les axes de mon graphe

Et c'est la que je bloque je n'arrive pas à calculer les lignes de niveaux 1/2 et 2
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?
Je vous remercie d'avance.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité fonction plusieurs variables 10-03-24 à 21:02

Bonsoir

\boxed{a)} Pour \Large\boxed{n\geqslant2}, on a \Large\boxed{\left|f(x,y)\right|\leqslant\frac{|xy|^{n-1}}{2}~}.

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 10-03-24 à 21:09

salut

ne pas oublier les parenthèses !!

si n = 0 alors f(x, y) = 1/(x^2 + y^2)

quand x et y tendent vers 0 il est évident que f(x, y) tend vers +oo !!

ok pour les autre cas


f(x, y) =  \dfrac1 2 \iff x^2 - 2|xy| + y^2 = 0 \iff (x \pm y)^2 = 0 \iff ... distinguer les cas nécessaires ...

f(x, y) = 2 \iff 2x^2 - |xy| + 2y^2 = 0 \iff 3x^2 + 3y^2 + (x \pm y)^2 = 0 et il est facile de conclure ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Continuité fonction plusieurs variables 10-03-24 à 21:17

\boxed{b)} \Large\boxed{f_1(x,y)\leqslant\frac{1}{2}} ...

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 11-03-24 à 19:37

Bonjour, dans votre message,

carpediem @ 10-03-2024 à 21:09


f(x, y) =  \dfrac1 2 \iff x^2 - 2|xy| + y^2 = 0 \iff (x \pm y)^2 = 0 \iff ... distinguer les cas nécessaires ...

f(x, y) = 2 \iff 2x^2 - |xy| + 2y^2 = 0 \iff 3x^2 + 3y^2 + (x \pm y)^2 = 0 et il est facile de conclure ...

Vous me dites distinguer les cas. Je suis d'accord mais je ne comprends pas en quoi cela m'aide a tracer les lignes de niveaux .
Pour tracer les lignes de niveaux, j'ai besoin d'une équation de la forme y= ...
Or, je ne vois pas en distinguant les cas comment cela va apparaitre...
Pour la ligne de niveau 1/2
\frac{|xy|}{x²+y²}= \frac{1}{2}  \iff |xy| = \frac{1}{2}(x²+y²) \iff y² = 2|xy| - x²
Mais j'ai du y de chaque côté de l'égalité et je ne sais pasa comment m'y prendre pour l'avoir que de un côté et avoir quelque chose de la forme y= .....

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 07:42

une somme de carré est nulles quand les termes sont nuls

donc la deuxième ligne de niveau est vide ... comme le montre elhor_abdelali

pour détailler la première :

x^2 -2 |xy| + y^2 =\left\lbrace\begin{matrix} x^2 - 2xy + y^2&si &xy \ge 0 \\ x^2 + 2xy + y^2&si &xy \le 0 \end{matrix}\right.

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 17:22

En réfléchissant, je pense que mes lignes de niveaux enfin au moins celle de 1/2 sera un cercle car comme vous me l'aviez dis

carpediem @ 12-03-2024 à 07:42


pour détailler la première :

x^2 -2 |xy| + y^2 =\left\lbrace\begin{matrix} x^2 - 2xy + y^2&si &xy \ge 0 \\ x^2 + 2xy + y^2&si &xy \le 0 \end{matrix}\right.

Si xy0 alors on a x^2+y^2 =2xy
Ici on a une équation de cercle avec un rayon égale à \sqrt{2xy}

Si xy0  alors on a x^2+y^2 =-2xy
Ici on aurait un rayon négatif ce qui n'est pas possible donc la ligne de niveau 1/2 est égale au cercle centré en (0,0) de rayon \sqrt{2xy}

Vous me dites aussi que
carpediem @ 12-03-2024 à 07:42

une somme de carré est nulles quand les termes sont nuls

donc la deuxième ligne de niveau est vide ... comme le montre elhor_abdelali
Vous parlez de la ligne de niveau où f(x,y) = 2 ?
Si oui, je ne comprend pas pourquoi ? Et si cela vient du fais
elhor_abdelali @ 10-03-2024 à 21:17

\boxed{b)} \Large\boxed{f_1(x,y)\leqslant\frac{1}{2}} ...
comment puis je le prouver car j'ai aucune idée de démonstration pour y parvenir ...
Sinon j'utilise la même méthode que pour la ligne de niveau 1/2

On a \frac{|xy|}{x^²+y^²}= 2 \iff |xy|=2x^2+2y^2 \iff \frac{|xy|}{2}=x^2+y^2
Donc si  xy0 alors on a x^2+y^2 =\frac{xy}{2}
Ici on a une équation de cercle avec un rayon égale à \sqrt{\frac{xy}{2}}

Si xy0  alors on a x^2+y^2 =-\frac{xy}{2}
Ici on aurait un rayon négatif ce qui n'est pas possible donc la ligne de niveau 2 est égale au cercle centré en (0,0) de rayon \sqrt{\frac{xy}{2}}

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 20:55

quand même !!

x^2 + y^2 = 2xy \iff (x - y)^2 = 0 \\ \\ x^2 + y^2 = -2xy \iff (x + y)^2 = 0

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 23:05

Nan mais oui je me suis compliqué la vie avec mon histoire de cercle la.....
(x+y)2= 0 me donne la droite d'équation y= -x
Et (x-y)2=0 me donne la droite d'équation y=x
Donc c'est deux droites me donne ma ligne de niveau 1/2

Donc pour la ligne de niveau 2 on a
Si xy0,
x2+y2-xy=0
Et la seule fois où c'est vrai est le point (0,0)

Et si xy0,
x2+y2+xy=0
Celle si a une unique  solution le point (0,0) car une somme de deux carrés ne peut pas être négatif

Donc la ligne de niveau 2 est égale au point (0,0)
Je ne suis pas sûre de moi, mais je pense avoir compris.
Dites moi si je fais fausse route s'il vous plaît ?
Je vous remercie en tout cas pour votre aide.

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 12-03-24 à 23:38

carpediem @ 12-03-2024 à 07:42

x^2 -2 |xy| + y^2 =\left\lbrace\begin{matrix} x^2 - 2xy + y^2&si &xy \ge 0 \\ x^2 + 2xy + y^2&si &xy \le 0 \end{matrix}\right.
il y a une condition sur le signe de xy !!

elhor_abdelali @ 10-03-2024 à 21:17

\boxed{b)} \Large\boxed{f_1(x,y)\leqslant\frac{1}{2}} ...
donc peut-on avoir 2 ?

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 11:01

Oui bien sûre je l'ai juste pas écrit mais
Si xy0  on a(x-y)2=0 donc on obtient y=x
Et si xy0
On a (x+y)2=0 donc on obtient y=-x

Par contre je ne sais pas comment montrer que f(x,y) 1/2....
Donc oui si c'est vrai bien sûre que la ligne de niveau 2 est vide. Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour montrer f(x,y) 1/2

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 13:27

(x \pm y)^2 \ge 0 \Longrightarrow \mp 2xy \le x^2 + y^2 \iff \dfrac {\mp xy } {x^2 + y^2} \le \dfrac 1 2

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 15:28

Oui tout simplement, je cherche compliqué alors que c'est tout simple.... Excusez moi ..
Donc si je reprends la question b

quand f(x,y) = 0
La ligne de niveau 0 est représentée par y=0 et x=0

Quand f(x,y) = 1/2
On a 2 cas
quand xy0 c'est à dire x<0 , y<0 et x>0 et y>0
on obtient y=x
quand xy0 c'est à dire x<0 , y>0 et x>0, y<0
on obtient y=-x
Donc la ligne de niveau 1/2 est representée par les fonction y=x et y=-x

Quand f(x,y)=2
La ligne de niveau est égale à car f(x,y) 1/2

Donc ci je les trace j'obtiens (voir image)

Est-ce-que je me suis encore trompé ?
En tout cas, je vous remercie de m'aider, c'est super gentil de votre part.

Continuité fonction plusieurs variables

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 17:57

non c'est bon mais attention :

Citation :
Donc la ligne de niveau 1/2 est représentée par les fonction y=x et y=-x
ne veut pas dire grand chose

la ligne de niveau 1/2 est (l'union des ensembles) \{ (x , y) \in \R^*^2  /  y = x \}\cup \{ (x, y) \in \R^*^2  /  y = -x \}

Posté par
tintin22re : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 18:16

D'accord, je ferrai attention, les prochaines fois.
Je vous remercie grandement de votre aide.
Bonne continuation a vous.

Posté par
carpediemre : Continuité fonction plusieurs variables 13-03-24 à 19:24

merci et à toi aussi


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