salut,

si f est continue en ,

alors pour tout , il existe tel que



autrement dit:



donc pour tout tu peux trouver un voisinage de tel que .

Donc .

Voilà pour la première implication, en fait on se sert du fait que les boules ouverts de centre qui interviennent dans la définition de la continuité, constituent une base de voisinages de et donc donnent autant d'informations que l'ensemble de tous les voisinages.

bonjour

tu peux remarquer que:

1°)
W(f,x)=inf(f,V)pour tout voisinage de x
      = W(f,IntersectionV)

2°) f étant continue sur [a,b] donc f est uniformément continue sur le copact [a,b]

3°) f atteint ses bornes sur tout partie de [a,b]

inff/A=f(xo,A) et supf/A=f(Xo,A)

---------maintenant

soit e>0  ; e=epsilon

si f est uniformément continue il existe µ>0 tel que |x-x'|<µ ==> |f(x)-f(x')|<e

soit V={x,x'/|x-x'|<µ}

alors IntersectionV incluse dans V donc
qq soit (x,x') élément de IntersectionV alors |f(x)-f(x')|<e
comme f atteint ses borne sur IntersectionV donc

|Supf/IntersectionV-Inff/IntersectionV|<e

et ceci qq soit e>0 donc W(f,x)=0

je te laisse faire la réciproque qui plus facile

Merci à tous les deux! J'ai bien compris.

pour la réciproque est ce que je peux reconsidérer le voisinage B(xo,a) pour un a assez petit, puisque c'est celui là qui intervient dans la continuité ?

ou, ça revient au même que de considérer tous les voisinages,

puis que pour un voisinage V quelconque de , on a inclus dans V un ouvert U qui contient un .

ok , on pourrait dire que tous les voisinages de x0 sont inclus dans cette boule...

j'ai une dernière question, à votre avis est ce que la fonction
xw(x,f) à f fixé est continue  si f est continue ?

Merci

si f est continue sur [a,b], alors pour tout on a , donc cette fonction est constante sur [a,b] et donc continue.

ah oui bien sur, je commence à bien fatiguer et si elle n'est pas continue ?

je ne sais pas trop ce que ça donne,

je pense déjà qu'on peut avoir pas continue si ne l'est pas:

on prend par exemple la fonction qui est partout sauf en 0 où elle s'annule. L'oscillation est égal à 0 partout sauf en 0 ou elle est égal à 1, donc elle n'est pas continue en 0.

si on prend l'indicatrice des rationnels , elle est continue en aucun point, mais son oscillation est toujours =1 donc continue.

Sauf erreur.

d'accord, je suis d'accord avec les exemples proposées

je cherche un moyen de trouver que l'ensemble {x de [a,b] tel que w(f,x)} pour un donné est un fermé, la solution de l'image réciproque d'une fonction continue me semblait adaptée mais apparemment non...car ici f est seulement bornée, on ne sait rien de plus

alors....

Je rencontre un nouveau souci dans mon devoir...

j'ai une fonction f réelle bornée définie sur [a,b]

je sais qu'elle est intégrable au sens de Riemann, c'est à dire que la somme:

tend vers 0 lorsque le pas de la subdivision  { } tend vers 0 (cette subdivision est une subdivision de l'intervalle [a,b])

je dois montrer que { appartenant à } est négligeable ( pour tout m>0) c'est à dire que pour tout réel l>0 il existe une suite (In) d'intervalles ouverts telle que soit incluse dans la réunion des In et que la somme des longueurs des In soit inférieure à l.

Je me suis dit au début que ce serait bien de poser si kn et si non vide ( voire essayer de s'arranger pour ne prendre que les intervalles où il y a des éléments de et aussi de prendre une subdivision assez fini de manière à faire apparaitre une longueur minimale, ceci était bien garanti car f est intégrable au sens de Riemann, donc il n'y a qu'un nombre fini d'éléments dans )
mais le problème c'est que si appartient à il n'appartient à aucun de mes intervalles ouverts In... donc ça ne marche pas

Quelqu'un aurait il une meilleure idée pour fabriquer une suite (In) ?

Un grand merci par avance

personne ?