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Continuité qui pose problème...
Bijour!
Une petite question d'un problème de maths me laisse quelque peu perplexe...
On a la fonction Sn(x)=
(de 0 à x) f(t)/(1-t)dt - (de 0 à x) t^(n+1).f(t)/(1-t)dt avec 0
x1
On sait que f(1)
0 et qu'elle est au moins dérivable une fois.
Il faut indiquer pourquoi la fonction t ---> t.f(t)/(1-t) est continue sur [o;x]
Je suis d'accord qu'elle est continue sur [o;x[ puisque composée de fonctions continues sur cet intervalle, mais en 1 elle est discontinue et la limite en 1- est différente de celle en 1+ (- l'infini et + l'infini) donc pas moyen de prolonger par continuité.
Merchi pour vos réponses ^^.
Bonjour, tu te fiches de la limite en 1+, tu la prolonges avec la limite en 1- et c'est bon. Tu t'interesserais à la limite en 1+ si 1+ faisait partie de l'intervalle d'étude.
Bonjour
la fonction t ---> t.f(t)/(1-t) n'étant pas définie en 1 je ne vois pas bien comment elle pourrait y être continue !
Bijour,
Pour répondre à Shadyfj, je ne vois pas trop comment justifier un quelconque prolongement avec la limite en 1- puisqu'elle est de - l'infini donc non continue. J'aurais bien voulu qi la limité était finie.
Pour Youpi je suis d'accord mais c'est là tout le problème puisque l'énoncé demande bien de justifier la continuité de la fonction sur [o;x] fermé donc sur [0;1] puisque x appartient à l'intervalle [0;1]...
J'avoue ne pas avoir vraiment d'idée car à priori elle ne parait pas vraiment continue.
En plus si il y a une limite infinie il n'y a pas possibilité de prolongement par continuité.
A moins qu'il n'y ait d'autres hypothèses manquantes...?
Je veux bien énoncer le début du problème mais je n'y vois pas d'hypothèses pouvant vraiment aider à cette question...
Soit f une fonction dérivable sur [0;1] on suppose que f(1)0 . On note M1=sup|f'(t)| pour t appartient à [0;1].
1) Montrer que |(de 0 à 1) t^(n+1).f'(t)dt|M1/(n+2)
2) 
n
on note In= (de 0 à 1) t^n.f(t)dt
Montrer que In est équivalent en + l'infini à f(1)/n
3)x[0;1] et n on note In(x)= (de 0 à x) t^n.f(t)dt
Montrer que la limite en + infini de In(x) = 0
4) n on note Sn(x)=
(de k=0 à n) Ik(x)
a) Montrer que Sn(x)= (de 0 à x) f(t)/(1-t)dt - (de 0 à x) t^(n+1).f(t)/(1-t)dt avec x appartient à [0;1].
b)Indiquer pourquoi la fonction t--->t.f(t)/(1-t) est continue sur [0,x] puis pourquoi Mx=sup|t.f(t)/(1-t)| avec t appartient à [0;1] est un réel fini.
Voili voilou j'ai tout fait jusqu'à cette question qui me turlupine l'esprit...
Bonjour,
tu es sur que c'est [0,1] fermé car la limite en 1 est infinie..
Ca sert vraiment pour la suite?
Nan ça ne sert pas vraiment pour la suite c'est juste que ça me turlupine l'esprit puisque dans toute la suite du problème, à chaque fois que l'on rencontre cette fonction t.f(t)/(1-t) on considère bien que t appartient à [0;1].
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