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Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
AMF 09-07-22 à 16:39

Bonjour, je galere sur cet exercice, voici l'énoncé :
Soit f : R -> R une fonction telle que  :
      1. pour tout segment [a,b] de R f([a,b]) est un segment de R;
      2. pour tout y ∈ R, f-1({y}) est fermé
Montrer que f est continue.

Voici ce que j'ai fais pour l'instant :
   J'essaye de raisonner par l'absurde en utilisant la définition de la continuité avec les epsilons. Donc je suppose le contraire. Je pose alpha_n une suite qui tend vers 0 de tel manière a avoir une suite y_n qui tend vers x ou x est un élément de mon segment [a,b]. De plus f(y_n) est a valeur dans f([a,b]) qui est un segment, d'après 1). D'après le Théorème de Bolzano Weierstrass je peu extraire une sous suite f(y_phi(n)) qui converge vers un reel l.
Or l appartient a f([a,b]) donc il existe c appartenant a [a,b] tel que l = f(c)
Maintenant il faut que je montre que c = x pour avoir mon absurdité
Car si c = x alors |f(y_phi(n))-f(x)| tend vers 0 lorsque n tend vers + l'infini ce qui serai absurde par hypothèse car f non continue en x
Le problème est que  je ne sais pas comment utiliser 2) j'imagine qu'il faut  que je l'utilise pour y = l sauf que j'ai n'ai pas d'idée comment l'utiliser.

Déja je voudrai savoir si ce que j'ai fais est correcte

Merci

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 09-07-22 à 17:15

Bonjour,

Disons que ce que tu écris n'est pas clair du tout. Tu as des \alpha_n dont on se demande à quoi ils servent, Tu as un segment [a,b] qui débarque on ne sait d'où etc..

Ton idée de base est bonne. Tu raisonnes par l'absurde, tu supposes qu'il existe une suite (y_n) convergeant vers x telle que (f(y_n)) ne converge pas vers f(x). Tu en extrais une suite (z_n) convergeant toujours vers x et telle que (f(z_n)) converge vers \ell\neq f(x). Je te conseille alors de t'intéresser aux segments d'extrémités x et z_n. Ils sont de plus en plus petits, n'est-ce pas ? Et que peut-on dire de leurs images ?

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 09-07-22 à 18:41

Je vais être plus explicite

Soit (a,b) \in  R² tq a<b
Mon but est de montrer que f est continue sur [a,b].

Soit x \in [a,b]
  
Je raisonne par l'absurde en supposant que f n'est pas continue en x
ie:
\exists\epsilon_{0} tq $\forall \alpha>0$,  \exists y \in [a,b] ,  \vert x-y \vert$ $\leq$ $\alpha$ et  $\vert f(x) - f(y)\vert $ $>$ $\epsilon_{0}$
Soit (\alpha_{n}) une suite strictement postive , \lim_{n\to +\infty}\alpha_{n} = 0
Alors \exists \ (y_{n}) une suite a valeur dans [a,b], \forall n \in N |x-y_{n}|\leq \alpha_{n}
Donc \lim_{n\to +\infty}\ y_{n} = x par encadrement
De plus  la suite f(y_{n}) est a valeur dans f([a,b]) qui est un segment par supposition.
Ainsi d'après le Théorème de Bolzano Weierstrass il existe une sous suite f(y_{\phi{(n)}}) qui converge vers un réel l\in f([a,b])

Voila maintenant c'est plus clair, enfin j'espère.

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 09-07-22 à 18:44

Ok j'essaye de réfléchir sur l'indication que tu m'as donné

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 09-07-22 à 18:57

GBZM @ 09-07-2022 à 17:15

Bonjour,

Disons que ce que tu écris n'est pas clair du tout. Tu as des \alpha_n dont on se demande à quoi ils servent, Tu as un segment [a,b] qui débarque on ne sait d'où etc..

Ton idée de base est bonne. Tu raisonnes par l'absurde, tu supposes qu'il existe une suite (y_n) convergeant vers x telle que (f(y_n)) ne converge pas vers f(x). Tu en extrais une suite (z_n) convergeant toujours vers x et telle que (f(z_n)) converge vers \ell\neq f(x). Je te conseille alors de t'intéresser aux segments d'extrémités x et z_n. Ils sont de plus en plus petits, n'est-ce pas ? Et que peut-on dire de leurs images ?


La tu extrais ta sous suite z_{n} qui converge a partir de y_{n} . Je ne vois pas pourquoi  f(z_{n}) devrai converger, c'est pour cette raison que j'extrais la mienne a partir de f(y_{n}).

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 09-07-22 à 22:53

Bon reprenons les choses dans l'ordre, puisque tu t'emmêles un peu les pinceaux.
1°) Tu raisonnes par l'absurde et tu supposes que f n'est pas continue en un certain x. Tu as donc une suite  (y_n) convergeant vers x et telle que la suite (f(y_n)) ne converge pas vers f(x). La suite (y_n) est contenue dans un segment [a,b] car elle converge, et donc la suite (f(y_n)) est contenue dans le segment image de [a,b]

Bien sûr que j'extrais la sous-suite (z_n) de la suite (y_n) ! Et je le fais de façon que la suite (f(z_n)) converge vers une limite \ell\neq f(x) ; on peut le faire grâce à Bolzano-Weierstrass et au fait que (f(y_n)) est contenue dans un segment et ne converge pas vers f(x). La même fonction extractrice  extrait la sous-suite (z_n) de (y_n) et (f(z_n)) de (f(y_n)).

Je t'ai donné une piste pour continuer (considérer les segments d'extrémités z_n et x).

J'ajoute un coup de pouce supplémentaire. Où va-t-on ? On veut trouver une contradiction avec la condition 2; et pour ça trouver un pont m\neq f(x) et une suite (t_n) convergeant vers x telle que f(t_n)=m pour tout m. Alors f^{-1}(\{m\}) ne serait pas fermé ...

Je ne t'en dis pas plus, sinon je ferais l'exercice à ta place.

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 10-07-22 à 17:29

Ok donc si je considère les suites  I_{n} = ([x,z_{n}]) et J_{n} = [l,f(z_{n})]
Alors\bigcap_{n\in N} I_{n} = \left\{x \right\} et \bigcap_{n\in N} J_{n} = \left\{l \right\}
D'après le théorème des segments emboités

Donc il faut que je montre qu'il existe une suite (t_{n}) \in I_{n} tq (f(t_{n})) \in \bigcap_{n\in N} J_{n}
Et puis je pourrai conclure que c'est impossible d'après 2.

Sauf que je ne sais pas si je dois construire la suite  ou bien juste montrer son existence a l'aide d'un argument.
J'aurai voulus encore extraire une sous suite encore a l'aide Bolzano Weirstrass a partir de (z_{n}) sauf que y'a aucune raison que f(t_{n}) = l à moins que je rajoute un autre argument.
Enfin la je suis a court d'idée.
Je voudrai bien un indice pour montrer qu'une telle suite existe

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 10-07-22 à 18:36

Je t'ai conseillé de t'intéresser aux images par f des segments d'extrémités x et z_n.
Pourquoi? Parce que tu devrais pouvoir y trouver le point m de mon message précédent.

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 11-07-22 à 13:38

Ok je crois avoir trouvé un truc, mais je ne suis pas sur de moi :
Je note toujours, I_{n} = ([x,z_{n}]) et je change maintenant J_{n} qui devient, comme vous me l'aviez demandé J_{n} = (f([x,z_{n}]))
Alors [f(x),f(z_{n})]\subset J_n
Comme f(z_{n}) tend vers l \neq f(x)
Alors pour tout entier naturel n ,\exists m \in J_{n},m\neq f(x)
De plus pour tout entier naturel n  f^{-1}(\left\{m\right\})\subset I_{n}
Or \bigcap_{n\in N}^{}{I_n} = \left\{x\right\}
Donc f^{-1}(\left\{m\right\})\subset \bigcap_{n\in N}^{}{I_n} = \left\{x\right\}
Ainsi \exists (t_n) convergeant vers x et f(t_n)=m
Ce qui est absurde d'après 2

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 11-07-22 à 15:28

Ce que tu écris ne va pas.

Ça ne va pas parce que ton m dépend de n.
Ça ne va pas parce qu'il n'y a aucune raison pour que f^{-1}(\{m\}) soit contenu dans I_n. Ce n'est pas une conséquence de m\in f(I_n) !

Tu avances des trucs qui ont l'air d'un raisonnement, mais c'est complètement bancal.  Réfléchis plus à ce que tu écris.

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 11-07-22 à 16:02

Ce que je voulais dire pour m , c'est que comme (f(z_n)) converge l\neq f(x)
Alors \exists m \in [f(x),l], m\neq f(x)
Et donc m\in f(I_n) mais m ne dépend pas de n
Apres je pensais vraiment que commem\in f(I_n) alors f^{-1}(\left\{m \right\})\subset I_n
Mais j'ai une vague idée pour quoi c'est faux

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 11-07-22 à 21:20

Il faut bien que tu réalises que la seule chose qui compte, c'est ce que tu écris. Tu dois donc prendre le plus grand soin de ce que tu écris.

Peux-tu donner explicitement un m tel que m\in f(I_n), au moins pour n suffisamment grand.
Tu sais que f(I_n) est un segment, que f(x)\in f(I_n) que f(z_n)\in f(I_n) et que f(z_n) converge vers \ell\neq f(x).

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 13-07-22 à 11:00

Je pourrai prendre m=l
Comme I_n = [x,z_n] est un segment emboité alors f(I_n) est aussi un segment emboité d'apres 1.
J'aurai alors que m appartient à l'intersection des f(I_n)
Apres je voudrai dire qu'il existe une suite t_n tq f(t_n)=m car m est dans l'intersections des f(I_n) et donc admet un antécédant dans chaque I_n
Mais ça revient à dire que m \in f(I_n) \Rightarrow f^-1(m) \subset  I_n
Mais vous m'aviez  dit que c'est faux mais je ne comprend pas pourquoi ?
Mais si c'est vrai je pourrai alors utilisé le fait que t_n tend vers x par les segments emboités
Et que d'autre part t_n\in f^-1(m) qui est fermé
Donc x\in f^-1(m)
Ce qui est absurde

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 13-07-22 à 14:20

Je m'arrête des les deux premières lignes :
Il n'y a aucune raison pour que m appartienne au segment f(I_n).
Il n'y a aucune raison pour que la suite des segments I_n soit une suite de segments emboîtés.

Et un peu plus loin
Tu n'as pas encore compris que "m a un antécédent dans I_n" ne veut pas dire "f^{-1}(m)\subset I_n".

Bref, ça ne va toujours pas. Essaie de mieux contrôler ce que tu écris.

I_n a pour extrémités x et z_n. Donc f(I_n) est un segment qui contient f(x) et f(z_n). Or on sait que la suite des f(z_n) converge vers \ell\neq f(x). Ceci veut dire que f(z_n)est aussi près qu'on veut de \ell pour n suffisamment grand. On ne peut pas en déduire que \ell\in f(I_n). Mais on peut trouver un m\neq f(x) tel que m\in f(I_n) pour tout n suffisamment grand. Fais un dessin si ça peut t'aider dans la compréhension de la situation.

Encore un gros coup de pouce : on a |f(z_n)-\ell| < |f(x)-\ell|/2 pour tout n à partir d'un certain rang.

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 13-07-22 à 15:56

Effectivement I_n n'est pas forcement une suite de segment emboité car il faudrait que z_n soit monotone pour avoir l'inclusion des segments.
Mais ne pourrais-je pas  construire une suitez_n' a partir de z_n monotone notamment décroissante convergeant vers x ?
Ainsi j'aurai que I_n' = [x,z_n'] est emboité puis que f(I_n') l'est aussi d'apres 1
Puis je considère un élément m dans l'intersection des f(I_n')
Ainsi m admet au moins  un antécédant dans chaque I_n'
D'où la possibilité de créer une suite t_n tq f(t_n) = m
Puis t_n converge x car I_n' emboité
Et comme f^{-1}(m) est fermé alors x\in f^{-1}(m), ce qui serai impossible

Désolé je reste têtu sur mon idée .

Posté par
GBZMre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 13-07-22 à 16:01

Bon, si tu ne veux pas tenir compte de mes conseils, je ne vais pas insister plus longtemps.
Je sors.

Posté par
AMFre : Continuité/Réciproque du Théorème des valeurs intermédiair 13-07-22 à 16:15

Ce n'est pas que je ne veux pas écouter vos conseilles c'est que j'essaye de vous expliquer mes idées. Mais si elles ne fonctionnent pas , je voudrai bien avoir une explication, et puis la j'essayerais de réfléchir sur vos conseilles. En tout cas si vous ne souhaitez plus m'aider il n'y a pas de soucis, je vous remercie quand même  pour votre aide.


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