Salut
Svp j'arrive pas prouver que dans 1 espace métrique une fonction séquentiellement continue est aussi continue
Besoin d'aide svp
Bonjour !
Suppose qu'elle n'est pas continue et construis une suite qui met en défaut la "continuité séquentielle".
Bonne idée mais le truc c'est que ce sera difficile de définir une suite dans un espace métrique quelconque
Soient X et Y des espaces métriques et f : X Y séquentiellement continue .
Pour voir que f est continue il suffit (par exemple ) de montrer que l'image réciproque de tout fermé de Y en est un de X .
Soit donc G un fermé non vide de Y et F := f-1(G) . Pour montrer que F est un fermé de X on peut montrer par exemple que F contient tous ses points adhérents .
Soit donc x un point adhérent à F . x est limite d'au moins une suite à valeurs dans F .
Il existe donc v :
G telle que la suite u : n
f-1(v(n)) converge vers x .
La séquentielle continuité de f au point x entraine que f o u f(lim(u)) = f(x) .
f(x) est donc dans G puisque adhérent à G ( f o u = v arrive dans G qui est fermé ) .
X est donc dant f-1(G) = F .
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