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Continuité séquentielle et continuité

Posté par
Dacolate
11-09-18 à 07:26

Salut
Svp j'arrive pas prouver que dans 1 espace métrique une fonction séquentiellement continue est aussi continue
Besoin d'aide svp

Posté par
luzak
re : Continuité séquentielle et continuité 11-09-18 à 08:03

Bonjour !
Suppose qu'elle n'est pas continue et construis une suite qui met en défaut la "continuité séquentielle".

Posté par
Dacolate
re : Continuité séquentielle et continuité 11-09-18 à 08:13

Bonne idée mais le truc c'est que ce sera difficile de définir une suite dans un espace métrique quelconque

Posté par
etniopal
re : Continuité séquentielle et continuité 11-09-18 à 09:18

Soient X et Y des espaces métriques  et f : X Y séquentiellement continue .
Pour voir que f est continue il suffit (par exemple ) de montrer que l'image réciproque de tout fermé de Y en est un de X .
    Soit donc G un fermé non vide de Y  et  F := f-1(G)  . Pour montrer que F est un fermé de X  on peut montrer par exemple que F contient tous ses points  adhérents .
         Soit donc  x un point adhérent à F .  x est limite d'au moins une suite à valeurs dans F .
Il existe donc  v  :   G telle que la suite u :  n   f-1(v(n))  converge vers x .

La séquentielle  continuité de f au point  x entraine que  f o u f(lim(u)) = f(x) .
f(x) est donc dans G puisque  adhérent à G (  f o u = v arrive dans G qui est fermé ) .
X est donc dant f-1(G) = F .

Posté par
luzak
re : Continuité séquentielle et continuité 11-09-18 à 12:00

Dacolate @ 11-09-2018 à 08:13

Bonne idée mais le truc c'est que ce sera difficile de définir une suite dans un espace métrique quelconque

Très facile puisque tu as l'existence d'un \varepsilon>0 tel que pour tout \delta>0 il existe x vérifiant d(x,a)<\delta,\;d(f(x),f(a))>\varepsilon.
Pour \delta=2^{-n} (ou toute suite de limite 0) tu prends x_n vérifiant d(x_n,a)<2^{-n},\;d(f(x_n),f(a))>\varepsilon.
Je pense que cela nie la "continuité séquentielle".



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