salut

si A est ouvert dans E alors tout ouvert de A est ouvert dans E
si B est ouvert dans F alors tout ouvert de B est ouvert dans F

idem en remplaçant ouvert par fermé puis on applique la définition d'une fonction continue ...

A et B sont des parties de E

Donc je ne vois pas trop comment gérer cela

" f est continue si et seulement si les restrictions de f à A et f à B le sont  " est faux .

Par exemple A = ]1 , +[ et  B = ]- , -1[ sont des ouverts .
f l'indicatrice de ]-1 , +1[  .
( , f , ) n' est  pas continue  .
(A ,  f│_A , ) et (B , f│_B , ) sont continues .

oui mais ce n'est pas des ouverts et fermés de R ...

il y a de la connexité derrière il me semble ...

bonjour,
@etniopal et carpediem,

Dans ton exemple A et B sont bien à la fois ouvertes et fermées et ta fonction est continue , ce n'est pas un contre exemple il me semble.
voir le topologie sur un ensemble non connexe, si x est dans un ouvert qui contient x est inclus dans un   avec a<x
Dis-je des bêtises ?

@etniopal je ne pense pas qu'il y ait un pb dans l'énoncé !

      Il me semble que "A et B  simultanément ouvertes ou fermées  "    signifie
"(A  et B ouvertes ) ou (A et B fermées)  "  
et non pas
" (A et B ouvertes ) et (A et B fermées)  "

bonjour,
Dans ton exemple etniopal ta fonction n'est définie ni en -1 ni en 1  donc le problème de continuité  en ces points ne se pose pas

ha oui je n'avais pas vu le "ou" mais y ai lu un "et"

avec un "ou" je suis d'accord avec etniopal

mais je pense que c'est un "et" ...

@DOMOREA

Dans  mon exemple  ma "fonction "  f  est définie  partout sur    .
J'ai fabriqué 3  " applications  "  où f est impliquée  .

bonjour,
le texte de audinaudin ne serai-il pas plutôt:
f fonction de E dans F.
"f est continue dans E"   Si et seulement Si
"Pour tout couple de  parties A et B de E simultanément ouvertes ou fermées , les restrictions de f à A et à B sont continues"

une des implications est évidente.

pour l'autre l'idée est peut-être de distinguer les cas où x est sur la frontière d'une composante connexe fermée de E ou si x est à l'intérieur d'une composante connexe donc dans dans un ouvert

@etniopal
bonjour,
ok pour f(-1)=f(1)=0 ( f est l'indicatrice de ]-1,1[)

c'est pour cette raison qu'avec ma remarque du post précedent, tu ne peux pas te contenter de choisir les ouverts qui te conviennent pour montrer la contradiction
ta fonction n'est pas continue sur ]-2,0[

Bonjour,
Dans tous les cas l'énoncé est trivialement faux, il faut a minima demander que la réunion de A et B recouvrent l'espace de départ.

Ensuite si A et B sont deux ouverts (resp. fermés) dont la réunion vaut X et si f : X->Y est une application, alors f est continue ssi f restreinte à A et f restreinte à B sont continues. Cela résulte quasi immédiatement de la définition.

Que A et B soient des ouverts fermés ou non.

Bonjour,

Je pense que audinaudin a oublié l'hypothèse dans son énoncé.

Effectivement je m'en excuse j'ai oublié l'hypothèse E = AUB

Sinon merci pour votre aide

Avec un énoncé complet (dommage qu'il faille un échange d'une quinzaine de messages pour arriver à l'avoir !), la réponse est assez immédiate en utilisant les caractérisations suivantes des applications continues :
- l'image réciproque d'un ouvert est ouverte,
ou
- l'image réciproque d'un fermé est fermée.