La fonction est elle continue ?
Est-elle uniformément continue, par exemple sur [-10,10] ?
Peut-on majorer sa dérivée en dehors de [-1,1] ?

oui elle est continue et elle est uniformément continue sur un compact donc sur [-10,10], du moins je pense

majorer sa dérivée? vous voulez dire trouver le sup?

Il a dit majorer, pourquoi tu veux te compliquer la tache ??

oui on peut surement la majorer, mais je ne sais pas vraiment comment faire ça...

Bonjour,
que vaut f'(x) pour tout x de R-[-10,10]?

Je précise : majorer en valeur absolue la dérivée (et tant qu'à faire, en dehors de [-1,1]). On peut y aller à la grosse louche, l'important est de majorer par une constante aussi grande soit-elle.

f'(x) = sin(1/x)+(-1/x²)cos(1/x) , sin(1/x)<= 1/x mais je ne vois pas comment faire après..

Tu as fait une erreur dans la dérivation.
Vraiment, tu ne sais pas majorer en valeur absolue les fonctions sinus et cosinus par une constante ?

ah oui,f'(x) = sin(1/x)+x*(-1/x²)cos(1/x)

je dois dire que j'ai très peu majorer des fonctions..

Quand même ! Au point d'être incapable de trouver tel que pour tout , faut pas pousser !

pense à utiliser le theoreme de Heine et le fait que f peut être lipschitzienne (pas necessairement dans R)

@neo Oui c'est exactement ce que Robot essaie de lui faire faire, il faudrait lire les autres commentaires avant de poster.

Oui je les ai lu avant de poster

Bonjour,
j'ai écrit plus haut que sin (1/x) <= 1/x

ah je dois donc montrer qu'elle est uniformément continue sur un compact et lipschitzienne sur le reste?
mais vu que  c'est dans R, je ne vois pas comment procéder, pour ce genre de méthode on a habituellement des fonctions qui ne recouvre pas R complet mais juste [1 , +inf[ par ex

sinx <= 1 ?

oui, mais si je montre qu'elle est uniformément continue sur [-10,10]et que sa dérivée est bornée en dehors de [-1,1] , c'est suffisant pour conclure que sin(1/x) est uniformément continue?

1°) Ah, tout de même ! Avec la valeur absolue, c'est mieux pour la majoration.

2°) Ca suffit, modulo un petit raisonnement à faire.

d'accord,donc elle est uniformément continue sur [-10,10] car f(x) est continue et que toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Sa dérivée est f'(x)=sin(1/x)+x*(-1/x²)cos(1/x) et est majorée par 1 - 1/x ? cos est majorée également par 1 ?

On cherche une majoration de la dérivée
1°) en valeur absolue
2°) par une constante,
3°) en dehors de [-1,1].

Ta majoration ne répond pas aux demandes ci-dessus. En plus, elle est incorrecte.

Doutes-tu vraiment que la fonction cosinus soit majorée par 1 (en valeur absolue) ?

donc si |sin(1/x)|<=1 et |cos(1/x)|<= 1 , je dirais que |f'(x) | <= 2 car(-1/x) <= 1 logiquement..

pour tout réel en dehors de , effectivement.
OK, on tient une majoration de par la constante en dehors de .
Il ne reste plus qu'un petit argument à écrire pour établir la continuité uniforme :
Soit ... . Donc il existe tel que pour tous , .

j'ai juste à marquer en plus la définition de la continuité uniforme ? et ça suffit?

Euh... Franchement, tu trouverais ça convaincant ?

Bonjour,
non,justement. Du coup je ne comprend pas vraiment quoi faire avec cette définition qui n'est pas vraiment évidente à appliquer

Eh bien il faut utiliser ce qu'on a montré, bien sûr ! (sinon, pourquoi se serait-on fatigué à le faire ?)
Autrement dit, utiliser que est uniformément continue sur . Ce qui veut dire ...
Et aussi que la dérivée de est bornée en valeur absolue par en dehors de . En conséquence, est -lipschitzienne sur et sur . Ce qui veut dire ..

L'application f est UC sur ]- , -1]  , sur [-1 , 1] et sur [1 , +[ .

Il te faut montrer que cela suffit pour que f soit UC sur .

Vas y donc avec les .

Je préfère dire, comme j'avais mis en place les choses dès le début, que est uniformément continue sur , et sur . C'est exprès que je considère des intervalles qui se chevauchent, ça facilite un peu la rédaction !

ah oui , à la fin je trouverai :

x1 [-10,10] et x2 ] -,1[,]1, +[
|f(x1) - f(x2)|<= | f(x1) - f(1) | + |f(x2)-f(1) | <=2
2>0, >0, tq x1,x2 I, |x1-x2|< |f(x1)-f(x2)|<=2 ?

je n'ai pas fait la démonstration entièrement, je veux juste savoir si je dois bien prendre f(1) en sachant qu'il n'est pas compris pour la lipschitziennité ?

Non, ce n'est pas ça.
L'avantage des intervalles qui se chevauchent, c'est que si on prend suffisamment petit alors entraîne que et sont tous les deux dans , ou tous les deux dans , ou tous les deux dans .

x1 [-10,10] , x2 ] -,1[]1, +[

>0, tq  x1,x2 I, |x1-x2|< |x1-x2| [-10,10] , ]-inf, -1[, ]1,+inf[ <= 3 ?
je ne suis pas sur de comprendre ce qu'il faut faire..